2019학년도 9월 모의고사 수학 영역(가형) 29번의 자세한 풀이입니다. 이 문제와 풀이를 통해 “주어진 조건을 보고 사용할 식을 결정한다”는 문제 풀이 전략에 대해 이야기 해보겠습니다.
수학 문제를 통해 배울 수 있는 다양한 문제 풀이 전략들이 있습니다. 또한 이러한 문제 풀이 전략들을 적절히 사용하면 문제 풀이의 돌파구를 찾을 수 있습니다. 2019학년도 9월 모의고사 수학 영역(가형) 29번은
주어진 조건을 보고 사용할 식을 결정한다
라는 문제 풀이 전략을 사용하는 문제입니다. 먼저 문제를 살펴 보겠습니다.
문제
문제의 풀이
먼저 세 점이 동일한 평면 \(z=1\) 위에 있다고 하였으므로 세 점의 좌표를 설정하는 것으로 문제 풀이를 시작해 보겠습니다. 점 \(P_1\)의 좌표를 \((x_1,y_1,1)\), 점 \( P_2\)의 좌표를 \((x_2,y_2,1)\), 점 \(P_3\)의 좌표를 \((x_3,y_3,1)\) 라고 하면, 이 세 점의 좌표를 이용해 벡터의 내적을 계산할 수 있습니다.
문제에서 주어진 벡터의 내적을 좌표를 이용해 내적을 계산하면,
$$\begin{align}
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_1}&=(3,\frac{1}{2},2)\cdot(x_1,y_1,1)&=3x_1+\frac{1}{2}y_1+2&=\frac{11}{3}\tag{1} \\
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_2}&=(3,\frac{1}{2},2)\cdot(x_2,y_2,1)&=3x_2+\frac{1}{2}y_2+2&=1\tag{2} \\
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3}&=(3,\frac{1}{2},2)\cdot(x_3,y_3,1)&=3x_3+\frac{1}{2}y_3+2&=-\frac{7}{4}\tag{3}
\end{align}$$
과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 나중에도 언급하겠지만 이 결과는 문제의 답을 구하는데 사용해야 하는 아주 중요한 조건입니다.
한편, 문제에서 제시한 직선의 방향벡터 \((-1,6,0)\) 을 잘 관찰해 보면 방향 벡터의 \(z\) 성분이 0이라는 것을 알 수 있습니다. 즉 이 직선위에 놓인 모든 점들의 \(z\) 좌표는 같기 때문에 이 직선은 \(xy\) 평면에 포함 되거나 \(xy\) 평면에 평행합니다.
또한 이 직선이 지나는 점 \((0,k,0)\) 의 좌표를 보면 이 직선의 방향 벡터와 마찬가지로 이 점의 \(z\) 좌표가 0입니다. 이 점은 \(xy\) 평면 위의 점이므로 \(xy\) 평면은 이 직선을 포함하게 됩니다. 따라서 여기서부터는 이 문제를 공간이 아닌 \(xy\) 평면에서 생각할 수 있습니다.
이제 남은 일은 \(xy\) 평면에서 이 직선의 기울기와 \(y\) 절편을 이용해 이 직선의 방정식을 \(y=ax+b\) 모양으로 써보는 것입니다. 이렇게 하면 길이나 각도를 측정할 때 여러 가지 도구를 쉽게 사용할 수 있기 때문입니다.
먼저 직선의 기울기를 구해보겠습니다. 이것은 직선의 방향벡터를 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다. 방향벡터가 \((-1,6)\) 인 직선의 기울기는 $$\frac{6}{-1}=-6$$이 됩니다. \(y\) 절편 역시 이 직선은 지나는 점 \((0,k,0\)) 의 \(x\) 좌표가 0이므로 이 직선의 \(y\) 절편은 \(k\) 가 됩니다. 따라서 이 직선의 방정식은 $$y=-6x+k$$로 나타낼 수 있습니다.
다음으로 해야 할 일은 세 점 \(P_1, P_2, P_3\) 에서 \(xy\) 평면에 내린 수선의 발의 위치를 구하는 것입니다. 문제 풀이 처음에서 세 점의 좌표를 정했기 때문에 각 점의 좌표에서 \(z\) 성분을 0으로 바꾸어 주는 것만으로 수선의 발의 위치를 쉽게 구할 수 있습니다. 따라서 점 \(P_1,P_2,P_3\)에서 \(xy\) 평면에 내린 수선의 발의 좌표는 각각 $$(x_1,y_1,0),(x_2,y_2,0), (x_3,y_3,0)$$이 됩니다.
이제 이 세 점의 수선의 발과 직선 \(y=-6x+k\) 를 \(xy\) 평면에서 생각해 보겠습니다. 세 점의 수선의 발이 모두 직선 \(l\)에 의해 나누어 지는 영역 \(\alpha\) 에만 포함되거나 \(\beta\) 에만 포함이 된다는 것은 결국 수선의 발 $$(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$$ 모두가 직선 $$y=-6x+k$$ 아랫쪽에 있거나 위쪽에 있다는 뜻이 됩니다. 과연 이 점들이 어떻게 배치 되어야 세 점 모두가 직선 \(y=-6x+k\) 위쪽이나 아래쪽에 놓이게 될까요? 내적의 결과 (1),(2),(3)를 보면 이 세 점의 배치에 대한 아주 커다란 힌트를 찾을 수 있습니다.
내적의 결과 (1),(2),(3)을 자세히 살펴보겠습니다. 먼저 이 식을 정리해 보면 아주 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다.$$\begin{align}
y_1&=-6x_1+\frac{10}{3}\tag{4}\\
y_2&=-6x_2-2\tag{5}\\
y_3&=-6x_3-\frac{15}{2}\tag{6}
\end{align}$$를 얻을 수 있습니다. 어떻습니까? 문제에서 주어진 직선 $$y=-6x+k$$ 와 정확히 그 모양이 일치하지 않습니까? 이 것은 과연 무엇을 의미하는 것일까요?
식(4)를 예로 들어 생각해 보겠습니다. 식(4)번 $$y_1=-6x_1+\frac{10}{3}$$은 점\((x_1,y_1)\)를 직선 $$y=-6x+\frac{10}{3}$$ 에 대입한 형태가 됩니다. 따라서 이 점 \((x_1, y_1)\)은 직선 $$y=-6x+\frac{10}{3}$$ 위의 한 점이라고 생각할 수 있습니다. 즉 아무리 \(x_1\) 의 값을 바꾸어도 점 \((x_1, y_1)\) 은 이 직선을 벗어날 수 없습니다. 마찬가지로 생각하면 나머지 두 점도 각각$$\begin{align}
y&=-6x-2\\
y&=-6x-\frac{15}{2}
\end{align}$$ 위의 한 점이 되고, 이 두 점의 위치를 아무리 바꾸어도 각각의 직선을 벗어날 수는 없습니다.
따라서 세 점 모두가 직선 \(y=-6x+k\) 아래쪽에 있기 위해서는 이 직선의 \(y\) 절편 \(k\) 가 점 \(P_1,P_2,P_3\) 의 위치를 나타내는 세 직선의 \(y\) 절편 $$\frac{10}{3}, -2, -\frac{15}{2}$$ 보다 커야 합니다.
즉 세 점 모두가 직선 아래쪽에 있으려면 \(k\) 의 값이 $$\left\{
\begin{aligned}
\frac{10}{3}&<k \\
-2&<k \\
-\frac{15}{2}&<k\end{aligned}\right.$$ 이 세 개의 부등식 모두를 만족해야 합니다. 이 세 부등식을 모두 만족시키는 양의 정수 \(k\) 의 값은 \(4,5,6,7…\) 이기 때문에 문제에서 요구하는 양의 정수 \(k\) 의 최소값 $$m=4$$라는 것을 알 수 있습니다.
마찬가지로 세 점 모두가 직선 \(y=-6x+k\) 위쪽에 있기 위해서는 이 직선의 \(y\) 절편 \(k\) 가 점 \(P_1,P_2,P_3\) 의 위치를 나타내는 세 직선의 \(y\) 절편 $$\frac{10}{3}, -2, -\frac{15}{2}$$ 보다 작아야 합니다.
즉 세 점 모두가 직선 위쪽에 있으려면 \(k\) 의 값이 $$\left\{
\begin{aligned}
k &< \frac{10}{3} \\
k & <-2 \\
k & <-\frac{15}{2}\end{aligned}\right.$$ 이 세 개의 부등식 모두를 만족해야 합니다. 이 세 부등식을 모두 만족시키기 위한 음의 정수는 \(k\)의 값은 \(…-10,-9,-8\) 이기 때문에 문제서 요구하는 음의 정수 \(k\) 의 최댓값은 $$M=-8$$이 됩니다.
따라서 $$m-M=4-(-8)=12$$
문제풀이의 원리 – 조건을 보고 사용할 식을 결정한다.
이 문제를 통해 배울 수 있는 개념이나 수학적 테크닉은 무엇일까요? 바로
조건을 보고 사용할 식을 결정한다.
는 것입니다. 이 문제에서$$y_1=-6x_1+\frac{10}{3}$$을 보고 $$y=-6x+\frac{10}{3}$$을 떠올렸습니다. 마찬가지로 $$\left\{
\begin{aligned}
\alpha^2+3\alpha-2=0\\
\beta^2+3\beta-2=0\end{aligned}\right.$$ 를 보면 방정식 $$x^2+3x-2=0$$을 생각하고 \(\alpha\)와 \(\beta\) 를 이 방정식의 근이라고 두고 풀이를 진행해야 합니다. 2018학년도 수능 수학 영역 (나형) 21번도 이러한 테크닉을 이용해 문제를 풀 수 있습니다. 관심있는 분은 같이 살펴보시기 바랍니다.
관련문제
- 2018학년도 수능 수학 영역 (나형) 21번