문제로 이해하는 삼차함수 – f(x)를 f'(x)로 나눈 나머지 (1989, 교토)

\(f(x)\)는 \(x\)의 삼차 다항식이다. \(f(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 나머지가 상수이면, 방정식 $$f(x)=0$$을 만족하는 실근은 1개임을 증명하시오.

이 문제는 삼차함수의 흥미로운 성질을 잘 보여주고 있는 문제입니다. 이 문제는 삼차함수의 어떤 성질을 이용하여 만들어진 문제일까요? 과연 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지의 의미는 무엇일까요?

이 문제는 문제에서 요구한 조건이 참임을 증명하는 데 아주 복잡한 계산이 필요하지 않습니다. 하지만 계산을 마치고, 한 걸음 더 생각해본다면 이 문제의 출제자가어떤 배경을 가지고 문제를 만들었는지 알아낼 수 있습니다. 문제의 출제자가 생각한 삼차함수의 성질은 어떤 것이었는지, 함께 찾아 보겠습니다.

증명1. 직접 증명

증명을 위한 준비

문제에서 요구한 방정식 \(f(x)=0\)의 실근의 개수는 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점의 개수를 세는 것으로 대신 할 수 있습니다. 따라서 이 문제에서는 삼차함수 \(f(x)\)의 최고차항의 계수를 \(1\)로 두는 것으로 충분합니다. \(y\)축 방향으로 그래프를 \(m\)배 (\(m\ne 0\)) 하더라도 그래프가 \(x\)축과 만나는 점의 개수는 변하지 않기 때문입니다. 다시 말해, 0아닌 실수 \(m\)에 대해$$x^3+ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow m(x^3+ax^2+bx+c)=0$$ 이므로 $$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$$로 두는 것으로 충분합니다.

몫과 나머지의 계산

삼차함수 \(f(x)\)의 도함수 $$f'(x)=3x^2+bx+c$$이므로 \(f(x)=x^3+3x^2+bx+c\)를 \(f'(x)=3x^2+bx+c\)로 나눈 나누면 몫 \(Q(x)\)과 나머지 \(R(x)\)를 각각 구하면 $$\begin{align}Q(x)&=\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}a\\R(x)&=\frac{2}{9}(3b-a^2)x+c\end{align}$$ 그런데, 나머지가 상수라고 하였으므로 나머지 $$R(x)=\frac{2}{9}(3b^2-a)x+c$$가 상수가 될 조건은 $$3b-a^2=0$$ 즉, $$a^2-3b=0$$입니다.

\(a^2-3b=0\)의 의미

그렇다면 \(a^2-3b=0\)의 의미는 무엇일까요? \(a^2-3b\)의 값은 방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수와 어떤 관계가 있을까요? 이미 알아차리신 분도 있을 것 같습니다. 네 그렇습니다! \(a^2-3b\)는 바로 방정식 $$f'(x)=3x^2+2ax+b=0$$의 판별식 $$\frac{D}{4}=a^2-3b$$입니다.

이제 문제에서 요구하는 것이 확실해 졌습니다. 방정식 \(f'(x)=0\)의 판별식의 값이 \(0\)이므로 방정식 \(f'(x)=0\)은 중근을 갖고, 언제나 도함수 $$f'(x)=3x^2+2ax+b\geq 0$$입니다. 따라서 삼차함수 \(f(x)\)는 실수 전체에서 증가하는 증가함수이므로, 방정식 $$f(x)=0$$의 실근은 \(1\)개 입니다.

증명2. 귀류법을 이용한 증명

귀류법을 사용하여 증명할 수도 있습니다. 이 때 삼차함수의 두 극점을 연결한 직선과 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지의 관계를 사용합니다.

먼저 결론을 부정하여,

\(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지가 상수일 때, 방정식 \(f'(x)=0\)의 근은 1개가 아니다

라고 하겠습니다. \(f(x)\)는 삼차함수이고, 치역이 \((-\infty, \infty)\) 인 연속함수이므로 방정식 \(f(x)=0\) 의 실근의 개수는 적어도 \(1\)개입니다. 따라서 방정식 \(f(x)=0\)의 실근이 1개가 아니라면 결국 방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수는 \(2\)개 또는 \(3\)개가 되어야 합니다.

그런데, 실수 전체에서 증가하거나 감소하는 삼차함수의 그래프는 언제나 \(x\)축과 한점에서 만나기 때문에 방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수가 \(2\)개또는 \(3\)개가 되려면, 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프는 극댓점과 극솟점을 갖고 있어야 합니다.

이제 삼차함수의 두 극점을 연결한 직선과 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지의 관계 를 생각해보면, \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지는 두 극점을 연결한 직선의 방정식이 되어야 합니다. 삼차함수의 두 그래프의 극점은 \(y\)좌표가 같지 않으므로 삼차함수의 두 극점을 연결한 직선의 기울기는 \(0\)이 될 수 없습니다. 따라서 이 직선의 방정식은 \(y=c\) (\(c\)는 상수\)가 될 수 없습니다. 따라서 삼차함수 \(f(x)\)를 그 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 나머지는 상수가 될 수 없습니다. 그런데 이것은 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지가 상수라는 문제의 가정과 모순이 됩니다.

따라서 방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수는 \(1\)입니다.

문제의 출제자가 생각한 것

결국 문제의 출제자가 주목한 삼차함수의 성질은 다음과 같습니다.

삼차함수 \(f(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 나머지가 상수이면 \(f(x)\)는 실수 전체에서 증가함수이다

먼저 출제자는 극값을 가지는 삼차함수에서 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지가 두 극점을 연결한 직선이라는 관계에서 출발하여, \(f(x)\)가 실수 전체에서 증가하거나 감소할 충분 조건을 하나를 찾았을 것입니다. 그리고 그 충분조건을 사용하여 이 문제를 만든 것입니다.

그렇다면 다음 명제는 참일까요? 거짓일까요? (이 물음에 대한 답은 연습문제로 남겨두겠습니다.)

삼차함수 \(f(x)\)가 증가함수이면, \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지는 상수이다.

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조호영
3 years ago

잘 읽었습니다. f(x)를 f'(x)로 나누었을 때 나머지가 상수인 f는 (x-a)^3꼴 밖에 없기 때문에 이런 성질들이 성립하는 것 아닌가요?

조호영
3 years ago
Reply to  godingMath

아 잘못 생각했네요
흠.. f(x)를 f'(x)로 나누었을 때 나머지가 상수라는 말은 두 극값이 같다 즉, 극값이 없다는 말인데…
이런 f가 ‘증가함수’인것은 극값이 없으니가 어느정도 자명해보입니다… 이외에 어떤 성질이 또 있을까요?

김대영
3 years ago
Reply to  godingMath

위에서 예를 들어 설명하신 삼차함수는 나머지가 상수가 아닌 예를 들으셨습니다. 나눈 나머지가 상수일려면 f(x) = (x-a)^3 + c꼴인데 상수 c를 안 적으신거에 대해서 언급하신듯 보입니다. 정말 생각하지도 못한 부분을 자세히 설명해주셔서 매우 감사히 좋은 정보를 얻었습니다. 올리신 모든 글을 시간될때마다 꾸준히 읽어야겠습니다. 이렇게 좋은 정보를 늦게 발견한게 아쉬울정도이네요^^
그래도 지금이나마 발견했으니 정말 다행이네요~감사히 배우겠습니다.^^

김대영
3 years ago
Reply to  godingMath

넵~^^ 소중한 정보 다시 한번 감사드립니다.~~!!

조호영
3 years ago

음… WLOG을 처음에 잡아셨는데, 처음에 a의 계수에 따라 f가 증가함수냐 감소함수냐가 결정이 됩니다. (a>0라면 증가함수, a0(증가함수) 일때는 기울기가 0이하인 일차다항식이 나오고
a<0(감소함수) 일때는 기울기가 0이상인 일차다항식이 나오므로
(일반적으로는) 성립하지 않습니다.

조호영
3 years ago
Reply to  조호영

즉, ‘증가함수’가 아니라 ‘일대일함수’인거 같아요.(삼차함수는 정의역, 치역이 (-무한,무한)이니까 일대일대응이라고도 할 수 있게네요)

박상현
2 years ago

오타 있습니다 3b^2-a=0 인데 3b-a^2=0 이라고 되어있네요

안녕하세요
2 years ago
Reply to  박상현

글쓴이께서 3b-a^2=0 을 3b^2-a으로 잘못 적으신 듯 합니다
전개 과정을 보면 상현님께서 잘못 읽으신 것을 알 수 있을 것 같네요..