이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 다음과 같은 비율 관계를 갖고 있습니다.
사차함수의 그래프와 이중접선이 두 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)에서 접하고, 선분\(\mathrm{AB}\)의 중점을 \(\mathrm{F}\), 이중접선과 평행한 직선이 사차함수의 그래프와 점\(\mathrm{E}\)에서 접하고 \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\)에서 만날 때,
[관계①]. 점\(\mathrm{E}\)의 \(x\)좌표=점\(\mathrm{F}\)의 \(x\)좌표
[관계②]. \(\mathrm{AF}:\mathrm{FB}:\mathrm{CE}:\mathrm{ED}=1:1:\sqrt{2}:\sqrt{2}\)
4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}|a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2|dx\\
&=\frac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5\end{align}$$
이 글에서는 이 식의 증명을 소개합니다. (more…)
이차다항식의 제곱완성이란 이차다항식 \(ax^2+bx+c\)를 다음과 같이 $$ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q$$ 완전제곱식 \((x-p)^2\)을 사용하여 식의 모양을 바꾸어주는 것을 말합니다. 바꾸어 주는 것을 을 제곱완성이라고 합니다. 마찬가지로, \(a>0\)인 사차식 \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+dx+e\)를 다음과 같이 이차식의 완전제곱식 \((\sqrt{a}x^2+px+q)^2\)을 이용하여 식의 모양을 바꾸는 것을 사차다항식의 제곱완성이라고 합니다.
$$\begin{align}
&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\
&=(\sqrt{a}x^2+px+q)^2+mx+n\end{align}$$
사차함수의 이중 접선이란 사차함수의 그래프와 서로 다른 두 점에서 동시에 접하는 접선입니다. 이중 접선의 방정식을 구하거나 성질을 이용하는 것은 시험에서 자주 출제되는 아주 중요한 주제중 하나입니다.
이중 접선의 방정식은 여러 방법으로 찾을 수 있습니다. 그중 가장 중요한 것은 두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질을 이용한 방법입니다. 이 방법을 사용하면 미분없이 사차함수의 이중 접선을 찾을 수 있습니다.