3차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$가 \(x=\alpha\), \(x=\beta\) (단, \(\alpha<\beta\)) 에서 극값 \(f(\alpha)\)와 \(f(\beta)\)를 가질 때, 두 극값의 차는 다음과 같습니다.
$$
|f(\alpha)-f(\beta)|=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^3\tag{1}\label{eq0}$$
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전설의 수학 문제를 찾아서 – 삼차함수의 최대/최소 (1991, 동경대)
전설의 수학 문제를 찾아서, 5번째 문제는 3차함수의 최대/최소 문제입니다. 1991년 동경대 입시 문제로, 많은 사람들을 놀라게 했던 문제입니다.
구간 \(-\dfrac{7}{4}\leq x \leq 3\) 에서 함수 \(f(x)=x^3-2x^2-3x+4\) 의 최댓값과 최솟값을 구하시오
이 문제는 평범한 문제입니다. 하지만 이 문제는 어려운 문제입니다. 이 문제에 담겨있는 출제자의 의도는 무엇일까요? 그리고 이 문제에서 배울 수 있는 것은 무엇일까요? (more…)
삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 넓이의 고속 적분 -1/12 공식
3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고, x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는
$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$
이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.