대칭식과 교대식은 다음과 같은 관계를 가지고 있습니다.
(1) 대칭식×대칭식=대칭식
(2) 교대식×대칭식=교대식
(3) 교대식×교대식=대칭식
이 글에서는 이 관계를 증명하고, 이 사실을 이용한 인수분해에 대해서 이야기합니다.
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3변수 대칭식의 인수분해
e 3변수 대칭식이란 3개의 문자를 사용하는 식 \(f(x,y,z)\) 에서 3개의 문자중 어떠한 2개를 바꾸어 대입하여 계산하여도 그 결과가 원래의 식과 동일한 식입니다. 즉 3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\)는 다음과 같은 성질을 만족해야 합니다.$$\begin{align}f(x,y,z)&=f(y,x,z)\\&=f(x,z,y)\\&=f(z,y,x)\end{align}$$ 3변수 대칭식의 인수분해는 다음과 같은 중요한 사실을 이용하는 경우가 많습니다.
3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\) 에서 \(x\) 자리에 \(-y\) 를 대입하여 계산한 결과가 0이 되면, 식 \(f(x,y,z)\)는 $$(x+y)(y+z)(z+x)$$를 인수로 갖는다. 즉, $$f(-y,y,z)=0\implies f(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)\cdot g(x,y,z) $$ 또한 이 때, \(g(x,y,z)\) 는 대칭식이다.
이 글에서는 이 사실을 증명하고, 이것을 이용한 인수분해 문제를 풀어보겠습니다. (more…)
가중 무게 중심 위치와 넓이비 (비법공식)
$$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$ 가 성립할 때 점 \(P\)를 \(\triangle{ABC}\)의 가중 무게 중심이라고 합니다. 또한 $$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=a:b:c$$가 됩니다. 이 글에서는 선분과 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 법과 가중 무게 중심의 위치 벡터, 삼각형의 넓이비에 대해서 알아보겠습니다.
3원 3차 다항식의 인수분해와 응용
3개의 문자를 사용한 3차 다항식 \(x^3+y^3+z^3-3xyz\) 은 거의 모든 참고서나 문제집에서 볼 수 있을 정도로 중요한 식입니다. 특히 이 다항식은 문자의 순서를 바꾸어도 그 결과가 문자의 순서를 바꾸기 전과 변함이 없는 대칭식입니다. 이 글에서는 \( x^3+y^3+z^3-3xyz\) 과 같은 3개의 문자를 사용한 3차 다항식의 인수분해와 그 응용을 다루어 봅니다. (more…)