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도표적분법 또는 표적분법이라고도 알려져 있는 테이블 적분법(tabular integration by parts)은 부분적분법을 빠르게 계산할 수 있는 방법입니다.  예를 들어 \(x^2\cdot e^x\) 의 부정적분 $$\int x^2\cdot e^x dx$$는 다음과 같은 표를 만들어 빠르게 계산할 수 있습니다.

$$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
x^2&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}&{}\\
2x&{}&e^x\\
{}&\searrow{-}&{}\\
2&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}{}\\
0&{}&e^x\end{array}$$

$$\int x^2e^xdx=+(x^2\cdot e^x)-(2x\cdot e^x)+(2\cdot e^x) +C$$ 테이블 적분법은 크게 2가지로 나눌 수 있는데 이 글에서는 첫번째로 다항함수×지수함수나 다항함수×삼각함수 모양을 가진 함수의 테이블 적분법을 예를 들어 설명합니다.

※삼각함수×지수함수의 테이블 적분법→삼각함수×지수함수의 테이블 적분법
※테이블 적분법의 원리→테이블 적분법의 원리 및 부분적분법의 귀납적 관계

다항함수×지수함수의 테이블 적분법

STEP 1. 표 만들기

다음과 같이, 2개의 열 \(D\)와 \(I\)를 가진 표를 만들고 함수 \(f(x)\) 와 \(g(x)\)를 각각 \(D\) 와 \(I\) 밑에 적어줍니다. 여기서 \(D\) 는 미분(differentiation)을 의미하고 \(I\)는 적분(integration)을 의미합니다. 미분을 계속해서 반복해서 하면 언젠가 0이 되는 다항함수를 \(f(x)\) 로, 다른 함수를 \(g(x)\)로 놓습니다. 예를 들어 \(\int x^2\cdot e^xdx\) 를 구할 때에는 다항함수 \(x^2\) 을 \(D\) 밑에, \(e^x\)를 \(I\) 밑에 적어줍니다.

$$\begin{array}{cc}
\begin{array}{ccc}
D && I\\
\hline
f(x)&&g(x)
\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline
x^2&&e^x
\end{array}
\end{array}$$

STEP 2. 표 채우기

이제 이 표를 한 줄씩 채워갑니다. 먼저 \(D\)열 마지막에 적힌 함수의 도함수를 그 밑에 적고, \(I\)열 마지막에 적힌 함수의 (적분상수가 0)인 부정적분을 적어줍니다. $$\begin{array}{cc}
\begin{array}{ccc}
D && I\\
\hline
f(x)&&g(x)\\
f'(x)&&\int g(x)
\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline
x^2&&e^x\\
2x&&e^x
\end{array}
\end{array}$$

\(D\) 열에 새로 적힌 함수가 0일 될 때까지 이러한 과정을 반복합니다.

$$\begin{array}{cc}
\begin{array}{ccc}
D && I\\
\hline
f(x)&&g(x)\\
f'(x)&&\int g(x)\\
f^″(x)&&\int\int g(x)\\
0&&\int\int\int g(x)\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline
x^2&&e^x\\
2x&&e^x\\
2&&e^x\\
0&&e^x\\
\end{array}
\end{array}$$

STEP 3. \(D\)열과 \(I\)열 연결해 주기

이제 오른쪽 아래 방향의 화살표를 이용하여 \(D\)열과 \(I\)열에 적힌 함수를 연결해 줍니다. 이 때 화살표에 부호를 붙여주는데, 첫번째, 세번째와 같은 홀수번째 화살표에는 ‘+’ 부호를, 두번째와 네번째 같은 짝수번째 화살표에는 ‘-‘ 를 적어줍니다.$$\begin{array}{cc}
\begin{array}{ccc}
D && I\\
\hline
f(x)&&g(x)\\
&\searrow{+}\\
f'(x)&&\int g(x)\\
&\searrow{-}\\
f^″(x)&&\int\int g(x)\\
&\searrow{+}\\
0&&\int\int\int g(x)\end{array}
&
\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline
x^2&&e^x\\
&\searrow{+}\\
2x&&e^x\\
&\searrow{-}\\
2&&e^x\\
&\searrow{+}\\
0&&e^x\\
\end{array}
\end{array}$$

STEP 4. 부정적분 구하기

이제 마지막단계입니다. 화살표로 연결된 함수끼리 곱한 후, 화살표에 붙은 부호를 사용하여 이 것들을 연결해줍니다. $$\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline
x^2&&e^x\\
&\searrow{+}\\
2x&&e^x\\
&\searrow{-}\\
2&&e^x\\
&\searrow{+}\\
0&&e^x\\
\end{array}$$$$\begin{align}\int x^2\cdot e^x dx&=+(x^2\cdot e^x)-(2x\cdot e^x)+(2\cdot e^x) +C\\&=(x^2-2x+2)e^x+C\end{align}$$

다항함수×지수함수의 테이블 적분법의 또 다른 예입니다.

\(\int x^2\cdot e^{-x}dx\)

다항함수 \(x^2\) 을 \(D\) 열에, 지수함수 \(e^{-x}\)를 \(I\)열에 적고 표를 만들어줍니다.  $$\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline
x^2&&e^{-x}\\
&\searrow{+}\\
2x&&-e^{-x}\\
&\searrow{-}\\
2&&e^{-x}\\
&\searrow{+}\\
0&&-e^{-x}\\
\end{array}$$$$\begin{align}\int x^2\cdot e^{-x}&=+(x^2\cdot(-e^{-x}))-(2x\cdot e^{-x})+(2\cdot(-e^{-x})) + C\\&=-(x^2+2x+2)e^{-x} + C\end{align}$$

다항함수×삼각함수의 테이블 적분법

다항함수×지수함수 때와 마찬가지로 다항함수를 \(D\) 열 밑에, 삼각함수를 \(I\) 열 밑에 적어줍니다. 나머지 단계는 다항함수×지수함수와 완전히 동일합니다. \(D\) 열에 적힌 함수는 미분하고, \(I\)열에 적힌 함수는 적분해 가며 표를 채워갑니다. \(D\)열에 적힌 함수가 0이 되면 표를 채우는 작업을 중단하고, 화살표에 부호를 붙여 \(D\)열과 \(I\)열을 연결해 줍니다. 이때 홀수번째 화살표에는 ‘+’를, 짝수번째 화살표에는 ‘-‘부호를 붙여줍니다.

\(\int x^2\cdot \sin xdx\)

\(x^2\) 을 \(D\)열에, \(\sin x\) 를 \(I\)열에 적고 표를 만들어줍니다. $$\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline
x^2&&\sin x\\
&\searrow{+}\\
2x&&-\cos x\\
&\searrow{-}\\
2&&-\sin x\\
&\searrow{+}\\
0&&\cos x\\
\end{array}$$$$\begin{align}\int x^2\cdot \sin xdx&=+(x^2\cdot(-\cos x))-(2x\cdot(-\sin x))+(2\cos x) + C\\&=(-x^2+2)\cos x+2x\sin x + C\end{align}$$