사각형의 가중 무게 중심의 위치 (aPA+bPB+cPC+dPD=0)

사각형의 가중 무게 중심 aPA+bPB+cPC+dPD=0 역시 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 것과 같은 방법을 사용하여 그 위치를 찾을 수 있습니다. 이 글에서는 사각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 방법과 그 증명에 대해서 이야기 합니다. 

사각형의 가중 무게 중심

삼각형의 가중 무게 중심→가중 무게 중심 위치와 넓이비

댓글에서 어떤 분께서 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 방법과 같은 방법을 평행사변형에도 적용할 수 있는지 질문하셨습니다. 평행사변형 뿐 아니라 일반적인 사각형에서도 같은 방법으로 가중 무게 중심의 위치를 찾는 것이 가능합니다. 이 사실을 증명하기 전에 그 방법과 예를 먼저 들어보겠습니다.

aPA+bPB+cPC+dPD=0 일 때,

STEP 1: 모든 꼭짓점에 가중 무게 써주기

꼭짓점 ABCD에 각각 가중 무게 a, b, c, d를 써 줍니다.

STEP 2 : 선분 BC의 내분 점 E 찾기

선분 BCc:d로 내분하는 점을 E라 하고, 점 E옆에 가중 무게 b+c를 써 줍니다.

STEP 3 : 선분 DE의 내분 점 F 찾기

선분 EDd:b+c로 내분하는 점을 F라하고, 점 F옆에 가중 무게 b+c+d를 써 줍니다.

STEP 4 : 선분 AF의 내분 점 F 찾기

선분 AFb+c+d:a로 내분하는 점이 가중 무게 중심 P의 위치입니다.

예를 들어 사각형 ABCD에서, 2PA+3PB+4PC+5PD=0가 성립하도록 하는 점 P의 위치는 다음과 같은 순서로 계산합니다.

[1] 꼭짓점 ABCD에 각각 가중무게 2, 3, 4, 5를 써 줍니다.
[2] 선분 BC4:3으로 내분하는 점을 E라 하고, 점 E옆에 가중 무게 3+4=7을 써 줍니다.
[3] 선분 ED5:7로 내분하는 점을 F라하고, 점 F옆에 가중 무게 5+7=12를 써 줍니다.
[4] 선분 AF12:2=6:1로 내분하는 점이 가중 무게 중심 P의 위치입니다.

증명

모든 벡터들을 점 A를 시작점으로 하는 벡터로 다시 쓰면

aPA+bPB+cPC+dPD=0aAP+b(ABAP)+c(ACAP)+d(ADAP)=0AP=1a+b+c+d(bAB+cAC+dAD)입니다.

E의 위치 찾기

AP=1a+b+c+d(bAB+cAC+dAD)=1a+b+c+d((b+c)bAB+cACb+c+dAD)입니다. AE=bAB+cACb+c라 하면 점 E는 선분 BCc:b로 내분하는 점입니다.

F의 위치 찾기

이제 AE를 이용하여 AP를 다시 쓰면, AP=1a+b+c+d((b+c)AE+dAD)=1a+b+c+d((b+c+d)(b+c)AE+dAD(b+c)+d) 입니다. AF=(b+c)AE+dAD(b+c)+d라 하면, 점 F는 선분 EDd:b+c로 내분하는 점입니다.

P의 위치 찾기

이제 AE를 이용하여 AP를 다시 쓰면, AP=1a+b+c+d((b+c+d)AF)=b+c+da+b+c+dAF 이므로 점 P는 선분 AFb+c+d:a로 내분하는 점입니다.

 

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김태완
5 years ago

너무 감사합니다. 항상 이 곳에서 새로운 거 많이 배워갑니다.

4 years ago

다각형의 가중 무게 중심으로 일반화할 수 있나요?