사각형의 가중 무게 중심 a→PA+b→PB+c→PC+d→PD=→0 역시 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 것과 같은 방법을 사용하여 그 위치를 찾을 수 있습니다. 이 글에서는 사각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 방법과 그 증명에 대해서 이야기 합니다.
사각형의 가중 무게 중심
삼각형의 가중 무게 중심→가중 무게 중심 위치와 넓이비
댓글에서 어떤 분께서 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 방법과 같은 방법을 평행사변형에도 적용할 수 있는지 질문하셨습니다. 평행사변형 뿐 아니라 일반적인 사각형에서도 같은 방법으로 가중 무게 중심의 위치를 찾는 것이 가능합니다. 이 사실을 증명하기 전에 그 방법과 예를 먼저 들어보겠습니다.
a→PA+b→PB+c→PC+d→PD=→0 일 때,
STEP 1: 모든 꼭짓점에 가중 무게 써주기
꼭짓점 A, B, C, D에 각각 가중 무게 a, b, c, d를 써 줍니다.
STEP 2 : 선분 BC의 내분 점 E 찾기
선분 BC를 c:d로 내분하는 점을 E라 하고, 점 E옆에 가중 무게 b+c를 써 줍니다.
STEP 3 : 선분 DE의 내분 점 F 찾기
선분 ED를 d:b+c로 내분하는 점을 F라하고, 점 F옆에 가중 무게 b+c+d를 써 줍니다.
STEP 4 : 선분 AF의 내분 점 F 찾기
선분 AF를 b+c+d:a로 내분하는 점이 가중 무게 중심 P의 위치입니다.
예
예를 들어 사각형 ABCD에서, 2→PA+3→PB+4→PC+5→PD=→0가 성립하도록 하는 점 P의 위치는 다음과 같은 순서로 계산합니다.
[1] 꼭짓점 A, B, C, D에 각각 가중무게 2, 3, 4, 5를 써 줍니다.
[2] 선분 BC를 4:3으로 내분하는 점을 E라 하고, 점 E옆에 가중 무게 3+4=7을 써 줍니다.
[3] 선분 ED를 5:7로 내분하는 점을 F라하고, 점 F옆에 가중 무게 5+7=12를 써 줍니다.
[4] 선분 AF를 12:2=6:1로 내분하는 점이 가중 무게 중심 P의 위치입니다.
증명
모든 벡터들을 점 A를 시작점으로 하는 벡터로 다시 쓰면
a→PA+b→PB+c→PC+d→PD=→0⇒−a→AP+b(→AB−→AP)+c(→AC−→AP)+d(→AD−→AP)=→0⇒→AP=1a+b+c+d(b→AB+c→AC+d→AD)입니다.
점 E의 위치 찾기
→AP=1a+b+c+d(b→AB+c→AC+d→AD)=1a+b+c+d((b+c)⋅b→AB+c→ACb+c+d→AD)입니다. →AE=b→AB+c→ACb+c라 하면 점 E는 선분 BC를 c:b로 내분하는 점입니다.
점 F의 위치 찾기
이제 →AE를 이용하여 →AP를 다시 쓰면, →AP=1a+b+c+d((b+c)→AE+d→AD)=1a+b+c+d((b+c+d)⋅(b+c)→AE+d→AD(b+c)+d) 입니다. →AF=(b+c)→AE+d→AD(b+c)+d라 하면, 점 F는 선분 ED를 d:b+c로 내분하는 점입니다.
점 P의 위치 찾기
이제 →AE를 이용하여 →AP를 다시 쓰면, →AP=1a+b+c+d((b+c+d)→AF)=b+c+da+b+c+d→AF 이므로 점 P는 선분 AF를 b+c+d:a로 내분하는 점입니다.
너무 감사합니다. 항상 이 곳에서 새로운 거 많이 배워갑니다.
제가 올린 글을 좋게 읽어주셔서 감사합니다. 도움이 되었다는 말씀에 큰 힘을 얻었습니다. 더 좋은 글을 올릴 수 있도록 노력하겠습니다!
다각형의 가중 무게 중심으로 일반화할 수 있나요?
네 맞습니다. 말씀하신 대로 다각형의 가중 무게 중심으로 일반화 할 수 있습니다.