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사각형의 가중 무게 중심 $$a\overrightarrow{\mathrm{PA}}+b\overrightarrow{\mathrm{PB}}+c\overrightarrow{\mathrm{PC}}+d\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{0}$$ 역시 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 것과 같은 방법을 사용하여 그 위치를 찾을 수 있습니다. 이 글에서는 사각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 방법과 그 증명에 대해서 이야기 합니다. 

사각형의 가중 무게 중심

삼각형의 가중 무게 중심→가중 무게 중심 위치와 넓이비

댓글에서 어떤 분께서 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 방법과 같은 방법을 평행사변형에도 적용할 수 있는지 질문하셨습니다. 평행사변형 뿐 아니라 일반적인 사각형에서도 같은 방법으로 가중 무게 중심의 위치를 찾는 것이 가능합니다. 이 사실을 증명하기 전에 그 방법과 예를 먼저 들어보겠습니다.

$$a\overrightarrow{\mathrm{PA}}+b\overrightarrow{\mathrm{PB}}+c\overrightarrow{\mathrm{PC}}+d\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{0}$$ 일 때,

STEP 1: 모든 꼭짓점에 가중 무게 써주기

꼭짓점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\)에 각각 가중 무게 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)를 써 줍니다.

STEP 2 : 선분 \(\mathrm{BC}\)의 내분 점 \(\mathrm{E}\) 찾기

선분 \(\mathrm{BC}\)를 \(c:d\)로 내분하는 점을 \(\mathrm{E}\)라 하고, 점 \(\mathrm{E}\)옆에 가중 무게 \(b+c\)를 써 줍니다.

STEP 3 : 선분 \(\mathrm{DE}\)의 내분 점 \(\mathrm{F}\) 찾기

선분 \(\mathrm{ED}\)를 \(d:b+c\)로 내분하는 점을 \(\mathrm{F}\)라하고, 점 \(\mathrm{F}\)옆에 가중 무게 \(b+c+d\)를 써 줍니다.

STEP 4 : 선분 \(\mathrm{AF}\)의 내분 점 \(\mathrm{F}\) 찾기

선분 \(\mathrm{AF}\)를 \(b+c+d:a\)로 내분하는 점이 가중 무게 중심 \(\mathrm{P}\)의 위치입니다.

예

예를 들어 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서, $$2\overrightarrow{\mathrm{PA}}+3\overrightarrow{\mathrm{PB}}+4\overrightarrow{\mathrm{PC}}+5\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{0}$$가 성립하도록 하는 점 \(\mathrm{P}\)의 위치는 다음과 같은 순서로 계산합니다.

[1] 꼭짓점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\)에 각각 가중무게 \(2\), \(3\), \(4\), \(5\)를 써 줍니다.
[2] 선분 \(\mathrm{BC}\)를 \(4:3\)으로 내분하는 점을 \(\mathrm{E}\)라 하고, 점 \(\mathrm{E}\)옆에 가중 무게 \(3+4=7\)을 써 줍니다.
[3] 선분 \(\mathrm{ED}\)를 \(5:7\)로 내분하는 점을 \(\mathrm{F}\)라하고, 점 \(\mathrm{F}\)옆에 가중 무게 \(5+7=12\)를 써 줍니다.
[4] 선분 \(\mathrm{AF}\)를 \(12:2=6:1\)로 내분하는 점이 가중 무게 중심 \(\mathrm{P}\)의 위치입니다.

증명

모든 벡터들을 점 \(A\)를 시작점으로 하는 벡터로 다시 쓰면

$$\begin{align}
&a\overrightarrow{\mathrm{PA}}+b\overrightarrow{\mathrm{PB}}+c\overrightarrow{\mathrm{PC}}+d\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{0}\\
&\Rightarrow -a\overrightarrow{\mathrm{AP}}+b(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})+c(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})+d(\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})=\overrightarrow{0}\\
&\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{a+b+c+d}\left(b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}+d\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)\\
\end{align}$$입니다.

점 \(\mathrm{E}\)의 위치 찾기

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AP}}&=\frac{1}{a+b+c+d}\left(b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}+d\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)\\
&=\frac{1}{a+b+c+d}\left(\color{red}{(b+c)}\cdot\color{blue}{\frac{b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{b+c}}+d\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)
\end{align}$$입니다. $$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\color{blue}{\frac{b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{b+c}}$$라 하면 점 \(\mathrm{E}\)는 선분 \(\mathrm{BC}\)를 \(c:b\)로 내분하는 점입니다.

점 \(\mathrm{F}\)의 위치 찾기

이제 \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\)를 이용하여 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)를 다시 쓰면, $$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AP}}&=\frac{1}{a+b+c+d}\left((b+c)\overrightarrow{\mathrm{AE}}+d\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)\\
&=\frac{1}{a+b+c+d}\left(\color{red}{(b+c+d)}\cdot \color{blue}{\frac{(b+c)\overrightarrow{\mathrm{AE}}+d\overrightarrow{\mathrm{AD}}}{(b+c)+d}}\right)\end{align}$$ 입니다. $$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\color{blue}{\frac{(b+c)\overrightarrow{\mathrm{AE}}+d\overrightarrow{\mathrm{AD}}}{(b+c)+d}}$$라 하면, 점 \(\mathrm{F}\)는 선분 \(\mathrm{ED}\)를 \(d:b+c\)로 내분하는 점입니다.

점 \(\mathrm{P}\)의 위치 찾기

이제 \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\)를 이용하여 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)를 다시 쓰면, $$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AP}}&=\frac{1}{a+b+c+d}\left(\color{red}{(b+c+d)}\overrightarrow{\mathrm{AF}}\right)\\
&=\frac{b+c+d}{a+b+c+d}\overrightarrow{\mathrm{AF}}\end{align}$$ 이므로 점 \(\mathrm{P}\)는 선분 \(\mathrm{AF}\)를 \(b+c+d:a\)로 내분하는 점입니다.