이차함수위의 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이

이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)위에 있는 세 점 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)의  \(x\)좌표가 각각 \(p\),\(q\),\(r\)이라 할 때, (단,  \(p<q<r\)) 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는

$$\frac{|a|}{2}(p-q)(q-r)(r-p)$$

증명의 준비물

[이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 고속적분]을 이용합니다. 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)와 직선이 만나는 두 점 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\)의 \(x\)좌표를 각각 \(p\), \(q\)라 할 때,  (단, \((p<q)\) 이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\frac{|a|}{6}(q-p)^3$$

증명

[STEP 1]. 이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이 구하기

세 점 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 다음과 같은 부분의 넓이를 이용해서 구할 수 있습니다.

① : 이차함수와 직선 \(\mathrm{PR}\)로 둘러 싸인 부분의 넓이$$\frac{|a|}{6}(r-p)^3$$

②: 이차함수와 직선 \(\mathrm{PQ}\)로 둘러 싸인 부분의 넓이$$\frac{|a|}{6}(q-p)^3$$ 라 하면,

③: 이차함수와 직선 \(\mathrm{QR}\)로 둘러 싸인 부분의 넓이$$\frac{|a|}{6}(r-q)^3$$ 입니다.

[STEP 2].①-②-③ 계산하기

따라서 삼각형 \(\mathrm{PQR}\)의 넓이는 ①-②-③ 을 계산하면 얻을 수 있습니다.  $$\begin{align}
&\triangle{\mathrm{PQR}}\\
&=①-②-③\\
&=\frac{|a|}{6}\{(r-p)^3-(q-p)^3-(r-q)^3\}\\
&=\frac{|a|}{6}\{\underbrace{(r-p)^3}_{A}+\underbrace{(p-q)^3}_{B}+\underbrace{(q-r)^3}_{C}\}\tag{1}\label{eq1}
\end{align}$$ 입니다. 식 \(\eqref{eq1}\)에서, $$\begin{align}
&r-p=A\\
&p-q=B\\
&q-r=C\\
\end{align}$$이라 두면, $$\begin{align}
&A+B+C\\
&=(r-p)+(p-q)+(r-q)\\
&=0\end{align}$$이므로 $$\begin{align}
&식\eqref{eq1}\\
&=\frac{|a|}{6}(A^3+B^3+C^3)\\
&=\frac{|a|}{6}\{(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)-3ABC\}\\
&=\frac{|a|}{6}(-3ABC)\\
&=\frac{|a|}{2}\{-(r-p)(p-q)(r-q)\}\\
&=\frac{|a|}{2}(p-q)(q-r)(r-p)\\
\end{align}$$ 입니다.

또는 \(p\), \(q\), \(r\)의 크기와 관계없이 사용하려면 $$\frac{|a|}{2}|(p-q)(q-r)(r-p)|$$을 사용할 수도 있습니다.

9 Comments
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조호영
3 years ago

이거도 문제풀다가 유도했었는데, 확실히 편하더라고요.
늘 좋은 글 감사합니다^

김산
3 years ago

식 (1)에서 -3ABC가 아니라 +3ABC 아닌가요..?

대학생
3 years ago

오~ 이런 응용은 생각도 못 했네요!! 그런데 이걸 고교 수학에서 요긴하게 써먹을 때가 잘 없을 것 같네요 ^^;; 좋은 글 많이 읽고 갑니다

대학생
3 years ago
Reply to  대학생

그러면 계속해서 이차함수 그래프 위의 네 점을 이은 사각형의 넓이도 구할 수 있고, 계속 확장할 수 있겠네요.

대학생
3 years ago
Reply to  대학생

그런데 마지막에 절댓값 붙인 식은 필요없지 않나요? p<q<r이므로 공식 자체가 0보다 크다는 사실만 알려주면 될 것 같습니다.

박은찬
2 years ago

중학교 3학년인데 이차함수 안에 들어가는 삼각형의 넓이를 적분을 이용하는 방법이 있지 않을까 해서 찾아봤는데 있네요. 정말 유익한 글이였어요.

noelsangsoo
1 month ago

감사합니다

Last edited 1 month ago by noelsangsoo