포물선의 모양은 한 가지뿐! - 포물선의 닮음 관계

모든 정사각형의 모양은 한가지뿐입니다. 그렇다면 정삼각형의 모양은 모두 몇가지 일까요? 모든 정삼각형의 모양 역시 한가지입니다. 이러한 도형들의 공통점은 무엇일까요? 바로 닮음입니다. 모든 정사각형은 서로 닮음이고, 모든 정삼각형도 서로 닮음입니다. 마찬가지로, 포물선의 모양은 오직 한가지 뿐입니다.

$\begin{align} &①.\text{ 모든 포물선은 서로 닮음이다.}\\ &②.\ y=ax^2\text{과 }y=bx^2\text{의 닮음비}=|b|:|a|\end{align}$

두 포물선의 서로 닮음은 다른 단원의 개념과 결합되어 어려운 문제를 만들어내는데 종종 사용되곤 합니다. 이 글에서는 포물선의 서로 닮음을 설명하고, 그 의미를 알아보겠습니다.

증명

회전과 평행이동의 효과

어떤 도형을 회전이나 평행이동을 하여 새로 만들어준 도형은 원래 도형과 합동입니다. 따라서 좌표 평면에서 임의의 포물선은 적당한 회전과 평행이동을 통해 원래의 포물선과 합동인 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선 $y=ax^2,\ a>0$ 으로 이동하는 것이 가능합니다. 따라서 임의의 두 포물선 $\begin{align} &y=ax^2,\ a>0\\ &y=bx^2,\ b>0\\ \end{align}$ 이 서로 닮음이라는 것만 보이면 모든 포물선이 서로 닮음이라는 것을 충분히 보일 수 있습니다. 그렇다면 원점을 꼭짓점으로 하는 두 포물선이 닮음이라는 것을 어떻게 증명할 수 있을까요?

원점을 꼭짓점으로 하는 두 포물선의 서로 닮음

원점을 꼭짓점을 하는 두 포물선이 서로 닮음임을 보이기 위해서는 [원점을 중심으로 한 그래프의 닮음 변환]을 이용하여 포물선 $y=ax^2$ 을 포물선 $y=bx^2$ 으로 바꿀 수 있다는 것을 보이면 됩니다. 척도인자를 $k$ 로 하여 포물선 $y=ax^2$ 을 원점을 중심으로 닮음 변환하면 $\begin{align} y=ax^2\xrightarrow{x=\frac{x}{k},y=\frac{y}{k}}\frac{y}{k}&=a\left(\frac{x}{k}\right)^2\\ \Rightarrow y&=\frac{a}{k}x^2 \end{align}$ 모든 실수 $x$ 에 대해 $\frac{a}{k}x^2=bx^2$ 이 성립하기 위해서는 $k=\frac{a}{b}$ 이어야 합니다. 따라서 $y=ax^2\xrightarrow{\frac{a}{b}\text{배 확대}}y=bx^2$ 이므로 두 포물선 $\begin{align} &y=ax^2,\ a>0\\ &y=bx^2,\ b>0\\ \end{align}$ 는 서로 닮음이고, 두 포물선의 닮음비는 $1:\frac{a}{b}=b:a$ 입니다.

두 포물선 $y=ax^2+a_1x+a_2$ 와 $y=bx^2+b_1x+b_2$ 의 닮음비

따라서 $x^2$ 의 계수의 부호와 관계없이 두 포물선 $\begin{align} &y=ax^2+a_1x+a_2,\ a\ne0\\ &y=bx^2+b_1x+b_2,\ b\ne0\\ \end{align}$ 의 닮음비는 $|b|:|a|$ 입니다.