방정식 \(f(x,y)=0\)의 그래프를 원점을 중심으로 \(k\)배 (\(k>0\)) 닮음 변환한 그래프의 방정식은
$$f\left(\frac{x}{k}, \frac{y}{k}\right)=0$$
이 글에서는 원점을 닮음의 중심으로 하는 닮음 변환에 대해 설명하고, 몇가지 중요한 예들을 살펴봅니다.
관련 개념
원점을 중심으로 하는 그래프의 닮음 변환은 [그래프의 확대 및 축소 변환]을 사용합니다. \(x\)축 방향으로의 척도인자가 \(a\), \(y\)축 방향으로의 척도인자가 \(b\)일 때, 방정식 \(f(x,y)=0\)의 \(x\)와 \(y\)의 계수를 각각 \(a\)와 \(b\)의 역수 \(\dfrac{1}{a}\), \(\dfrac{1}{b}\)로 바꾸어주면 \(x\)축 방향으로 \(a\)배, \(y\)축 방향으로 \(b\)배 확대된 그래프의 방정식을 얻을 수 있습니다.
$$f(x,y)=0\xrightarrow{x\to\frac{1}{a}x, y\to\frac{1}{b}x}f\left(\frac{1}{a}x, \frac{1}{b}y\right)=0$$
닮음 변환의 종류
닮음 변환은 닮음의 중심\(\mathrm{O}\), 회전의 양을 나타내는 각도 \(\omega\), 거리의 배율을 나타내는 척도인자 (양수) \(k\)의 세 요소로 정의되는 변환입니다. 닮음 변환은 각도 \(\omega\)의 값에 따라 \(2\)가지로 나누어 생각할 수 있습니다.
\(\omega=0\) 일 때 : 중심 닮음 변환(homothety)
회전을 하지 않는 변환입니다. \(\omega=0\)이면 닮음의 중심으로부터 방향은 변하지 않고, 길이만 바뀌게 됩니다. 예를 들어 닮음의 중심을 점 \(\mathrm{O}\), 회전 각도 \(\omega=0\), 척도인자를 \(k\)로 하여 점 \(\mathrm{A}\)를 점 \(\mathrm{A’}\)로 옮기면, 다음과 같은 성질이 성립합니다.
$$\begin{align}
반직선\mathrm{OA}의 방향&=반직선\mathrm{OA’}의 방향\\
\mathrm{OA}:\mathrm{OA’}&=1:k
\end{align}$$
\(\omega\ne 0\) 일 때
닮음의 중심으로부터 거리 뿐 아니라 방향까지 바뀌는 닮음 변환입니다. 예를 들어 닮음의 중심을 \(\mathrm{O}\), 회전각의 크기를 \(\omega\), 척도인자를 \(k\)로 하는 닮음 변환에 의해 위 그림의 점 \(\mathrm{A}\)가 \(\mathrm{A’}\)로 옮겨질 때, 다음과 같은 성질을 만족합니다.
① : \(\angle{AOA_0}=60^\circ\)
② : \(\mathrm{OA}:\mathrm{OA’}=1:k\)
원점을 중심으로 하는 닮음 변환
이제 원점을 중심으로 하는 닮음 변환에 대해 이야기 해보겠습니다. 원점을 중심으로 하는 닮음 변환은 회전 각도 \(\omega=0\)인 중심 닮음 변환입니다. 따라서 척도인자를 \(k\)로 하여 방정식 \(f(x,y)=0\)의 그래프를 변환하면, 방정식 \(f(x,y)=0\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}\)와 변환에 의해 이동한 점 \(\mathrm{P’}\)사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$\begin{align}
반직선\mathrm{OP}의 방향&=반직선 \mathrm{OP’}\\
\mathrm{OP}:\mathrm{OP’}&=1:k\\
\end{align}$$
이와 같은 변환은 점 \(\mathrm{P}\)를 \(x\)축 방향으로 \(k\)배, \(y\)축 방향으로 \(k\)배가 되도록 확대변환을 하면 얻을 수 있습니다. 따라서 [그래프의 확대 및 축소 변환]에 의해, 방정식 \(f(x,y)=0\)의 그래프를 원점을 중심으로 \(k\)배 (\(k>0\)) 닮음 변환한 그래프의 방정식은
$$f\left(\frac{x}{k}, \frac{y}{k}\right)=0$$
입니다.예
원점에서 \(x\)축에 접하는 원의 방정식
원점에서 \(x\)축에 접하는 원의 방정식 $$x^2+(y-1)^2=1$$을 원점을 중심으로 \(2\)배 닮음 변환하면, $$\begin{align}
&\left(\frac{x}{\color{red}{2}}\right)^2+\left(\frac{y}{\color{red}{2}}-1\right)^2=1\\
&\Rightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{(y-2)^2}{4}=1\\
&\Rightarrow x^2+(y-2)^2=4\\
&\Rightarrow x^2+(y-2)^2=2^2
\end{align}$$ 이 원 역시 원점에서 \(x\)축에 접하고 있으므로 두 원은 원점에서 접하게 됩니다. 이렇듯 두 원이 내접할 때, 두 원의 접점은 닮음의 중심이 됩니다. 즉, $$\mathrm{OA}:\mathrm{OA’}=1:2$$
포물선
포물선 \(y=x^2\)을 원점을 중심으로 \(2\)배 닮음 변환하면 $$\begin{align}
&\left(\frac{y}{\color{red}{2}}\right)=\left(\frac{x}{\color{red}{2}}\right)^2\\
&\Rightarrow y=\frac{1}{2}x^2\\
\end{align}$$ 두 포물선 \(y=x^2\)과 \(y=\dfrac{1}{2}x^2\)은 닮음비가 \(1:2\)인 닯음이고, 닮음의 중심은 원점이 됩니다. 즉, $$\mathrm{OA}:\mathrm{OA’}=1:2$$이고, 이것을 일반화 하면, 두 포물선 \(y=ax^2\) \((a>0)\)과 \(y=bx^2\) \((b>0)\)은 닮음비가 \(b:a\)인 닮음 관계에 있습니다. 이 성질은 무척 중요한 성질이므로 별도의 글에서 따로 다루어 보겠습니다.