godingMath

포물선의 직선과 서로 다른 2점에서 만날 때 그 두 점을 끝점으로 하는 선분을 포물선의 현이라고 합니다. 특히, 포물선의 초점을 지나는 현은 다음과 같은 성질을 갖고 있습니다.

포물선의 초점 \(\mathrm{F}\)를 지나는 직선 \(l_1\)이 포물선과 서로 다른 2개의 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)에서 만날 때 다음과 같은 관계가 성립합니다.

$$\text{① : }\mathrm{\frac{1}{AF}+\frac{1}{BF}}=\frac{1}{p}$$

$$\begin{align}
&\text{② : }\mathrm{\frac{1}{AF\cdot BF}+\frac{1}{CF\cdot DF}}=\frac{1}{4p^2}\\
&\text{③ : }\mathrm{\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}}=\frac{1}{4p}\\
\end{align}$$

이 글에서는 극좌표를 이용한 이 공식의 증명을 소개합니다.

증명을 하는데 극좌표가 유리한 이유

● 포물선의 극방정식(→포물선과 극좌표, 포물선의 극방정식)

주어진 3개의 공식은 모두 포물선의 위의 한 점부터 포물선의 초점까지의 거리들이 어떠한 관계를 갖고 있는지를 나타내고 있습니다. 그런데 좌표를 이용한 포물선의 극방정식 $$r=\frac{l}{1-\cos\theta}=\frac{2p}{1-\cos\theta}$$이 바로 포물선 위의 한 점 \(\mathrm{P}\)로 부터 포물선의 초점 \(\mathrm{F}\)까지의 거리(\(r\))와 직선 \(\mathrm{PF}\)와 \(x\)축의 양의 방향이 이루는 각도(\(\theta\))를 사용하여 정의된 식입니다. 따라서 포물선의 극방정식을 사용하면 이 3개의 공식을 증명하는 것이 무척이나 쉬워집니다.

증명을 위한 준비

먼저 공식의 증명을 위해 선분\(\mathrm{AF}\)와 \(x\)축의 양의 방향이 이루는 각을 \(\theta\)라 두면, \(\mathrm{AB\perp CD}\)이므로 선분 \(\mathrm{CF}\), \(\mathrm{BF}\), \(\mathrm{DF}\)가 \(x\)축의 양의 방향이 이루는 각은 각각 $$\begin{align}
&\mathrm{{CF}}\text{ : }\theta+\frac{\pi}{2},\\
&\mathrm{{BF}}\text{ : }\theta+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\theta+\pi,\\
&\mathrm{{DF}}\text{ : }\theta+\pi+\frac{\pi}{2}=\theta+\frac{3\pi}{2}\\
\end{align}$$가 됩니다.

그리고 네 선분 \(\mathrm{AF}\), \(\mathrm{BF}\), \(\mathrm{CF}\), \(\mathrm{DF}\)의 길이를 각각 \(r_a\), \(r_b\), \(r_c\), \(r_d\)로 정하고, 각 선분의 길이와 각도를 극방정식에 대입하면, $$\begin{align}
&\mathrm{{AF}}=r_a=\frac{2p}{1-\cos\theta}\\
&\mathrm{{BF}}=r_b=\frac{2p}{1-\cos(\theta+\pi)}=\frac{2p}{1+\cos\theta}\\
&\mathrm{{CF}}=r_c=\frac{2p}{1-\cos(\theta+\frac{\pi}{2})}=\frac{2p}{1+\sin\theta}\\
&\mathrm{{DF}}=r_d=\frac{2p}{1-\cos(\theta+\frac{3\pi}{2})}=\frac{2p}{1-\sin\theta}\\
\end{align}$$를 얻을 수 있습니다. 이제 증명을 위한 모든 준비가 끝났습니다. 남은 것은 대입하고 정리하는 것 뿐입니다.

공식 ①의 증명

많이 알려져 있는 공식입니다. 보통은 직각좌표계에서 복잡한 계산을 하거나 삼각형의 닮음을 이용해 증명을 하지만 극좌표를 이용하면 단순한 계산만으로 증명을 할 수 있습니다.

$$\begin{align}&\frac{1}{\mathrm{AF}}+\frac{1}{\mathrm{BF}}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}\\
&=\frac{1-\cos\theta}{2p}+\frac{1+\cos\theta}{2p}\\
&=\frac{(1-\cos\theta)+(1+\cos\theta)}{2p}\\
&=\frac{2}{2p}\\
&=\frac{1}{p}
\end{align}$$

공식 ②의 증명

$$\begin{align}
&\mathrm{{AF}\cdot {BF}}\\
&=r_a\times r_b\\
&=\frac{2p}{1-\cos\theta}\times\frac{2p}{1+\cos\theta}\\
&=\frac{4p^2}{1-\cos^2\theta}\\
&=\frac{4p^2}{\sin^2\theta}
\end{align}$$ 같은 방법으로, $$\begin{align}
&\mathrm{{CF}\cdot {DF}}\\
&=r_c\times r_d\\
&=\frac{2p}{1+\sin\theta}\times\frac{2p}{1-\sin\theta}\\
&=\frac{4p^2}{1-\sin^2\theta}\\
&=\frac{4p^2}{\cos^2\theta}
\end{align}$$ 따라서, $$\begin{align}
&\mathrm{\frac{1}{{AF}\cdot {BF}}+\frac{1}{{CF}\cdot {DF}}}\\
&=\frac{\sin^2\theta}{4p^2}+\frac{\cos^2\theta}{4p^2}\\
&=\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{4p^2}\\
&=\frac{1}{4p^2}
\end{align}$$

공식 ③의 증명

$$\begin{align}
&\mathrm{{AB}}=r_a+r_b\\
&=\frac{2p}{1-\cos\theta}+\frac{2p}{1+\cos\theta}\\
&=\frac{2p(1-\cos\theta)+2p(1+\cos\theta)}{1-\cos^2\theta}\\
&=\frac{4p}{\sin^2\theta}
\end{align}$$ 같은 방법으로, $$\begin{align}
&\mathrm{{CD}}=r_c+r_d\\
&=\frac{2p}{1+\sin\theta}+\frac{2p}{1-\sin\theta}\\
&=\frac{2p(1+\sin\theta)+2p(1-\sin\theta)}{1-\sin^2\theta}\\
&=\frac{4p}{\cos^2\theta}
\end{align}$$입니다. 따라서 $$\begin{align}\mathrm{\frac{1}{{AB}}+\frac{1}{{PQ}}}&=\frac{\sin^2\theta}{4p}+\frac{\cos^2\theta}{4p}\\&=\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{4p}\\&=\frac{1}{4p}\end{align}$$