포물선과 극좌표

포물선의 초점 $\mathrm{F}$부터 준선까지의 거리를 $l$, 포물선위의 한 점 $\mathrm{P}$부터 초점 $\mathrm{F}$ 까지의 거리 $\mathrm{\overline{PF}}= r$, 직선 $\mathrm{PF}$와 $x$축의 양의 방향이 이루는 각을 $\theta$ 라 하면 포물선의 극방정식$$r=\frac{l}{1-\cos\theta}$$

이 글에서는 포물선의 방정식을 극좌표를 사용한 극방정식으로 나타내는 방법과 극방정식을 직각좌표 형식의 방정식으로 바꾸는 방법, 반직현의 개념에 대해 설명합니다. 그리고 포물선의 방정식을 극방정식으로 나타내는 것이 어떠한 장점을 갖는지에 대해 이야기 합니다.

포물선을 극방정식으로 나타내는 방법

점 $\mathrm{P}$와 초점 $\mathrm{F}$에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H}$, $\mathrm{H’}$로, 그리고 점$\mathrm{P}$에서 포물선의 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$라 하겠습니다. $\mathrm{\angle{PFH’}}=\pi-\theta$ 이므로, $\mathrm{\overline{PF}}=r$ 이라 하면 $\mathrm{\overline{H’F}}=l$, $\mathrm{\overline{DF}}=r\cos(\pi-\theta)$이므로 $$\begin{align}\mathrm{\overline{PH}}&=\mathrm{\overline{H’F}-\overline{DF}}\\&=l-r\cos(\pi-\theta)\\&=l+r\cos\theta\end{align}$$ 포물선의 정의에 의해, $\mathrm{\overline{PH}=\overline{PF}}$ 이므로 $$l+r\cos\theta=r$$ 입니다. 이 식을 정리하면 $$r(1-\cos\theta)=l$$$$\therefore r=\frac{l}{1-\cos\theta}\tag{1}\label{eq1}$$

직각좌표 형식의 방정식으로 바꾸기

식$\eqref{eq1}$이 어떤 곡선을 나타내는지 알아보기 위해 직각좌표 형식으로 바꾸어 보겠습니다. 극좌표 형식으로 나타낸 식을 직각좌표 형식으로 바꾸기 위해서는 $$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$$로 두고,
$$\begin{align}
x^2+y^2&=r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta\\
&=r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\\
&=r^2
\end{align}$$을 이용합니다. 먼저 식$\eqref{eq1}$의 양변에 $1-\cos\theta$를 곱하면 $$\begin{align}&r=\frac{l}{1-\cos\theta}\\
&\Rightarrow r(1-\cos\theta)=l\\
&\Rightarrow r-r\cos\theta=l\\
&\Rightarrow r-x=l\\
&\Rightarrow r=x+l\tag{2}\label{eq2}
\end{align}$$ 이제 식$\eqref{eq2}$의 양변을 제곱하면 $$\require{cancel}\begin{align}
&r^2=(x+l)^2\\
&\Rightarrow r^2=x^2+2xl+l^2\\
&\Rightarrow \cancel{x^2}+y^2=\cancel{x^2}+2xl+l^2\\
&\Rightarrow y^2=2l\left(x+\frac{l}{2}\right)\tag{3}\label{eq3}\\
\end{align}$$를 얻을 수 있습니다.

포물선의 반직현 $l=2p$

식$\eqref{eq3}$은 $y^2=2lx$ 의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-\dfrac{l}{2}$ 만큼 평행이동한 것입니다. 한편, $$y^2=2lx=4px$$로 두면 포물선의 반직현 $$l=2p$$ 입니다. 여기서 한가지 재미있는 사실은 포물선의 방정식 $$y^2=4px$$인 포물선 위의 점 중에서 $x=p$인 점의 좌표가 $(p, 2p)$, $(p, -2p$)라는 것입니다. 이 두점을 이으면 초점을 지나고, $x$축에 수직인 포물선의 현이 만들어 집니다. 즉 직현이란 초점을 지나고 포물의 대칭축에 수직한 현을 말하며 반직현이란, 직현의 반을 뜻하는 용어입니다!

초점부터 준선까지의 거리가 $l=2p$이므로, 포물선의 초점에서 준선까지의 거리와 반직현의 길이는 같습니다.

극좌표 형식의 장점

포물선의 극좌표 형식으로 나타낼 때의 장점은 무엇일까요? 포물선의 초점과 포물선 위의 한점을 연결한 선분의 길이를 다룰 때에는 포물선을 극좌표 형식으로 나타내는 것이 좋습니다. 포물선의 극좌표 형식에서 $r$은 포물선의 초점에서 포물선위의 한점까지의 거리입니다. 따라서 극좌표를 이용하면 $r$의 길이를 다루는 것이 매우 편리해집니다. 예를 들어, 식$\eqref{eq4}$와 같은 포물선과 초점을 지나는 현에 관한 정리를 증명하는 등의 문제에서는 극좌표 형식을 사용하지 않는다면 삼각형의 닮음을 이용하기 위한 보조선을 그리거나 꽤나 긴 계산 과정을 거쳐야 합니다. 하지만 극좌표 형식으로 나타내면 단순한 계산만으로 간단히 그 이유를 설명할수 있습니다.

반직현의 길이가 $p$인 포물선의 초점 $\mathrm{F}$를 지나는 직선이 포물선과 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 만날 때,
$$\mathrm{\frac{1}{\overline{AF}}+\frac{1}{\overline{BF}}}=\frac{1}{p}\tag{4}\label{eq4}$$

극좌표를 이용한 증명

이번에는 극좌표를 이용해 식$\eqref{eq4}$를 증명해보겠습니다. 선분 $\mathrm{\overline{AF}}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\theta$ 라고 하면, 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{B}$는 한 직선위에 있기 때문에 $\mathrm{\overline{BF}}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각은 $\pi + \theta$ 입니다.

$\mathrm{\overline{AF}}=r_a$, $\mathrm{\overline{BF}}=r_b$라고 하고, 극좌표를 사용하면, $$\begin{align}
r_a&=\frac{l}{1-\cos\theta}\\
&=\frac{2p}{1-\cos\theta}\\
r_b&=\frac{l}{1-\cos(\pi+\theta)}\\
&=\frac{2p}{1+\cos\theta}
\end{align}$$ 따라서 $$\require{cancel}\begin{align}
&\mathrm{\frac{1}{\overline{AF}}+\frac{1}{\overline{BF}}}\\
&=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}\\
&=\frac{1-\cancel{\cos\theta}}{2p}+\frac{1+\cancel{\cos\theta}}{2p}\\
&=\frac{2}{2p}\\
&=\frac{1}{p}\end{align}$$