이항분포 \(\mathrm{B}(n,p)\)를 따르는 확률변수 \(X\)의 평균과 분산은 다음과 같습니다.
평균 \(\mathrm{E}(X)=np\)
분산 \(\mathrm{V}(X)=npq,\ q=1-p\)
이 글에서는 이항계수의 흡수 항등식과 소소하지만 확실한 테크닉 1개만을 사용하여 이 결과를 증명해 보겠습니다. (2017학년도 서울시립대 논술 2번) (more…)
Category: 수열의 합
정답을 부르는 개념 – 이항계수의 흡수 항등식
이항계수의 흡수 항등식 (absorption identity)는 약방의 감초처럼 이항계수를 사용하는 수식에서 자주 쓰이는 항등식입니다. 이 항등식을 직접 설명하고 있는 교과서는 없지만, 사실 이 항등식은 평가원 기출문제에서 종종 사용될 정도로 중요한 항등식입니다.
자연수 \(r(1\leq r \leq k)\)에 대하여$$_kC_r=\frac{k}{r}\times _{k-1}C_{r-1}$$
이 글에서는 이 항등식을 증명하고, 이 항등식을 활용하는 방법과 과거 평가원 기출문제에서 이 항등식이 어떻게 다루었는지에 대해 이야기 해보겠습니다. (more…)
소확테 2개의 환상의 콜레보 – 2018학년도 수능 나형 30번
가끔은 아주 어려워 보이는 문제가 단순한 테크닉의 조합만으로 쉽게 풀리는 경우가 있습니다. 2018학년도 수능 나형 30번이 그러한 경우입니다. 이 문제를 풀기 위해서 필요한 것은 [소소하지만 확실한 테크닉] 2개와 (조금 길긴 하지만) 단순한 계산 뿐입니다.
2018학년도 수능 나형 30번
이차함수 \(f(x)=\dfrac{3x-x^2}{2}\) 에 대하여 구간 \([0,\infty)\) 에서 정의된 함수 \(g(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) \(0\leq x\lt 1\) 일 때, \(g(x)=f(x)\) 이다.
(나) \(n\leq x \lt n+1\) 일 때, $$g(x)=\frac{1}{2^n}\{f(x-n)-(x-n)\}+x$$이다. (단, \(n\)은 자연수이다.)
어떤 자연수 \(k(k\geq 6)\)에 대하여 함수 \(h(x)\)는 $$h(x)=
\begin{cases}
g(x) & \text{($0\leq x \lt 5$ 또는 $x\geq k$)}\\
2x-g(x) & \text{($5\leq x \lt k$)}
\end{cases}$$이다. 수열 \(\{a_n\}\)을 \(a_n=\displaystyle\int_0^nh(x)dx\) 라 할 때, $$\lim\limits_{n\to\infty}(2a_n-n^2)=\frac{241}{768}$$이다. \(k\)의 값을 구하시오.
소소하지만 확실한 테크닉 – 수열의 합의 위끝과 아래끝 변환
이 글에서는 수열의 합의 위끝과 아래끝을 변환하는 소소하지만 확실한 테크닉을 소개합니다. 이 테크닉은 수열의 합을 보다 간단한 형태로 계산할 때 사용할 수 있는데, 종종 문제 해결의 실마리를 발견하는데 큰 도움이 됩니다. 이 글에서는 이 테크닉을 사용하는 법을 소개하고, 2019학년도 6월 모의고사 20번(가형 나형 공통) 문제를 이 테크닉을 사용해 풀어보겠습니다.
$$\sum_{k=m}^na_{k}=\sum_{k=m-p}^{n-p}a_{k+p}$$