이 글에서는 수열의 합의 위끝과 아래끝을 변환하는 소소하지만 확실한 테크닉을 소개합니다. 이 테크닉은 수열의 합을 보다 간단한 형태로 계산할 때 사용할 수 있는데, 종종 문제 해결의 실마리를 발견하는데 큰 도움이 됩니다. 이 글에서는 이 테크닉을 사용하는 법을 소개하고, 2019학년도 6월 모의고사 20번(가형 나형 공통) 문제를 이 테크닉을 사용해 풀어보겠습니다.
$$\sum_{k=m}^na_{k}=\sum_{k=m-p}^{n-p}a_{k+p}$$
이 식을 언뜻 보면 문자의 수가 많아 조금 복잡해 보입니다. 하지만 사실, 이 식의 의미는 아주 간단합니다. 이 식의 의미는 수열의 합을 구할 때, 수열의 일반항을 나타내는 문자 \(k\) 에 어떤 수 \(p\) 를 더하면 반대로 수열의 합의 위끝과 아래끝은 \(p\) 만큼 빼주어야 한다는 것입니다.
이 변환 공식을 사용하는 예를 보겠습니다. 만약 $$\sum_{k=1}^n(k+1)^2$$을 구하고 싶을 때, 이 것을 직접 계산한다면 $$\begin{equation}\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n}{(k^2+2k+1)}&=\sum_{k=1}^n{k^2}+2\sum_{k=1}^n{k}+\sum_{k=1}^n{1}\\&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n\end{aligned}\end{equation}$$으로 조금 귀찮은 계산을 해야 합니다. 하지만 일반항을 $$(k+1)^2\rightarrow k^2$$으로 바꾼다면 이 수열의 합을 보다 간단히 구할 수 있습니다.
- 먼저 수열의 일반항에 들어있는 \(k\) 에서 1을 빼줍니다. 즉, $$k\rightarrow k-1$$로 바꾸면 일반항은 $$(k+1)^2\rightarrow ((k-1)+1)^2=k^2$$으로 바뀌게 됩니다.
- 반대로, 수열의 합의 위끝 \(n\) 과 아래끝 1에는 1을 더해서 $$\begin{aligned}위끝:n&\rightarrow n+1\\아래끝:1&\rightarrow 2\end{aligned}$$로 바꾸어 줍니다.
따라서 이 수열의 합은 $$\begin{equation}\begin{aligned}\sum_{k=1}^n(k+1)^2&=\sum_{k=2}^{n+1}k^2\\&=\sum_{k=1}^{n+1}k^2-1^2\\&=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}-1\\&=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}-1\end{aligned}\end{equation}$$ 이 됩니다.
평가원 문제에 적용해보기
다음은 2019학년도 6월 모의고사 수학 가형과 나형 20번으로 공통 출제된 문제입니다. (가)와 (나), (다)의 빈칸을 채우는 문제인데, (가)와 (나)를 일단 구해놓았다고 가정하고 (다)를 구하는 과정만을 살펴보겠습니다.
(…중간생략)
이 문제를 세 부분으로 나누어 살펴보겠습니다. 먼저 처음 부분입니다.
(1),(2)에 의하여 \(2a+2b+2c+d=2n\)을 만족시키는 음이 아닌 정수 \(a, b, c, d\) 의 모든 순서쌍 \((a,b,c,d)\)의 개수 \(a_n\)은 $$a_n=(가)+(나) 이다.$$
이 문제에서 $$(가)=_4\mathrm H_n,(나)=_4\mathrm H_{n-1}$$이므로 $$a_n=(가)+(나)=_4\mathrm H_n + _4\mathrm H_{n-1}$$이 됩니다. 이어서 두번째 부분을 생각해보겠습니다.
자연수 \(m\) 에 대하여 $$\sum_{n=1}^m{(나)}=_{m+3}\mathrm C_4\tag{*}$$이므로
\((나)=_4\mathrm H_{n-1}\) 이므로 이 부분은$$\sum_{n=1}^m{(나)}=\sum_{n=1}^m{_4\mathrm H_{n-1}}=_{m+3}\mathrm C_4$$ 라는 것을 알려주고 있습니다. 아주 재미있는 부분입니다. 왜 이 문제는$$\sum_{n=1}^m{(나)=_{m+3}\mathrm C_4}$$ 이 된다는 것만 알려주었을까요? 혹시 $$\sum_{n=1}^m{(가)}=\sum_{n=1}^{m}{_4\mathrm H_n}=?$$의 값도 구해주어야 하는 것은 아닐까요? 그렇다면 이 값은 또 어떻게 구할까요? 여러가지 방법이 있지만 이 식의 값은 식(*)을 변환하면 손쉽게 찾아낼 수 있습니다. 식(*)에서 일반항 자리에 있는 \(n\) 에 1을 더하고 위끝과 아래끝은 반대로 1을 빼주면 $$\sum_{n=1}^m{_4\mathrm H_{n-1}}=\sum_{n=0}^{m-1}{_4\mathrm H_n}=_4\mathrm H_0+\sum_{n=1}^{m-1}{_4\mathrm H_n}=_3\mathrm C_0 +\sum_{n=1}^{m-1}{_4\mathrm H_n}=_{m+3}C_4$$ $$\sum_{n=1}^{m-1}{_4\mathrm H_n} = _{m+3}\mathrm C_4 – _3\mathrm C_0=_{m+3}\mathrm C_4 -1$$ $$\therefore \sum_{n=1}^{m}{_4\mathrm H_n} = _{m+4}\mathrm C_4 -1\tag{**}$$
이제 (*)과 (**)을 사용하면 (다)를 구할 수 있습니다. 마지막 세번째 부분입니다.
$$\sum_{n=1}^8{a_n}=(다)$$
$$\sum_{n=1}^8{a_n}=\sum_{n=1}^8{_4\mathrm H_n}+\sum_{n=1}^8{_4\mathrm H_{n-1}}$$ 입니다. 식(*)에 의해 $$\sum_{n=1}^8{_4\mathrm H_{n-1}}=_{11}\mathrm C_4\tag{1}$$이고, 식(**)에 의해 $$\sum_{n=1}^8{_4\mathrm H_{n}}=_{12}\mathrm C_4-1$$입니다. 따라서 $$\begin{equation}\begin{aligned}\sum_{n=1}^8{a_n}&=\sum_{n=1}^8{_4\mathrm H_n}+\sum_{n=1}^8{_4\mathrm H_{n-1}}\\&=_{12}\mathrm C_4-1+_{11}\mathrm C_4\\&=495+330-1\\&=824\end{aligned}\end{equation}$$
정적분의 위끝과 아래끝의 변환
정적분의 위끝과 아래끝도 같은 방법으로 변환할 수있습니다. 이 변환 방법과 적용은 다른 글에서 다루어 보겠습니다.