수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(0\)항 까지의 합을 공합(空合, empty sum)이라고 부릅니다. 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라고 할 때, $$a_n=S_n-S_{n-1}$$이 \(n=1\)부터 성립할 필요충분조건은
$$S_0=0$$
첫째항부터 제 \(0\)항까지의 합을 어떻게 정의할 수 있을까요? 그리고 그 의미는 무엇일까요? 이 글에서는 조건 \(S_0=0\)의 필요충분성을 증명하고, 공합 \(S_0\)의 의미를 알아봅니다.
가끔은 아주 어려워 보이는 문제가 단순한 테크닉의 조합만으로 쉽게 풀리는 경우가 있습니다. 2018학년도 수능 나형 30번이 그러한 경우입니다. 이 문제를 풀기 위해서 필요한 것은 [소소하지만 확실한 테크닉] 2개와 (조금 길긴 하지만) 단순한 계산 뿐입니다.
(가) \(0\leq x\lt 1\) 일 때, \(g(x)=f(x)\) 이다.
(나) \(n\leq x \lt n+1\) 일 때, $$g(x)=\frac{1}{2^n}\{f(x-n)-(x-n)\}+x$$이다. (단, \(n\)은 자연수이다.)
어떤 자연수 \(k(k\geq 6)\)에 대하여 함수 \(h(x)\)는 $$h(x)=
\begin{cases}
g(x) & \text{($0\leq x \lt 5$ 또는 $x\geq k$)}\\
2x-g(x) & \text{($5\leq x \lt k$)}
\end{cases}$$이다. 수열 \(\{a_n\}\)을 \(a_n=\displaystyle\int_0^nh(x)dx\) 라 할 때, $$\lim\limits_{n\to\infty}(2a_n-n^2)=\frac{241}{768}$$이다. \(k\)의 값을 구하시오.