2020학년도 9월 모의고사 30번은 평가원이 ‘적분법’에 대한 문제를 어떻게 만들고 무엇을 강조하는지를 다시 한번 분명히 보여주는 문제입니다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여
$$f'(x^2+x+1)=\pi f(1)\sin\pi x + f(3)x+5x^2\tag{1}\label{eq1}$$ 을 만족시킬 때, \(f(7)\)의 값을 구하시오.

이 문제를 풀기 위해서는 합성함수의 적분법이 필요합니다. 함성함수의 적분법과 치환적분법은 어떠한 관계가 있을까요? 그리고 평가원의 출제의도와 의미는 무엇일까요? 그리고 이 문제는 좋은 30번 문제일까요?

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3차함수의 두 극점을 지나는 직선은 다음과 같은 성질을 가지고 있습니다.

(1) 3차함수의 두 극점을 지나는 직선은 언제나 3차함수의 변곡점을 지난다.
(2) 두 극점을 지나는 직선의 기울기=변곡점에서의 접선의 기울기\(\times\dfrac{2}{3}\)

이 글에서는 3차함수의 두 극점을 지나는 직선의 성질을 증명하고, 이 성질을 사용한 해법을 생각해봅니다.

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삼각형의 중선을 이용하면 복잡한 벡터의 내적 문제를 쉽게 풀 수 있습니다. 삼각형 OAB에서 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\) 이라 하면 다음과 같은 사실이 성립합니다.

$$\mathrm{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=OM^2-MB^2}\tag{*}\label{eq*}$$

이 공식은 벡터의 내적 문제, 특히 최대/최소 문제를 해결하기 위한 최강의 공식 중 하나입니다. 이 글에서는 이 공식의 증명과 그 의미를 설명하고, 이 공식과 관계있는 기출 문제를 풀어봅니다.

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