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이차함수의 그래프와 두 접선으로 둘러싸인 넓이를 \(\mathcal{A}\), 두 접점을 연결한 직선과 이차함수로 둘러싸인 넓이를 \(\mathcal{B}\) 라 하면,$$A:B=1:2$$ 이 비율에 대한 간단한 증명을 소개합니다.

증명

이 증명은 1/6 공식(클릭)과 1/12 공식(클릭)을 사용합니다. 두 접점의 x좌표를 각각 \(\alpha\), \(\beta\) 라 하면,  (단, \(\alpha<\beta\) ) 두 접점을 연결한 직선과 이차함수로 둘러 싸인 넓이는 직선과 이차함수로 둘러싸인 넓이가 되므로 1/6 공식을 사용할 수 있습니다. 따라서, $$\mathcal{B}=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$$이 됩니다.

다음으로 이차 함수와 두 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1/12 공식을 사용하면 $$\mathcal{A}=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3$$입니다. 따라서, $$\mathcal{A}:\mathcal{B}=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3:\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3=1:2$$