도형과 관계된 삼각함수의 극한 문제를 풀 때, 몇 가지 사실을 이용하면 복잡한 계산을 하지 않고 문제의 답을 쉽게 구할 수 있는 경우가 있습니다. 2019학년도 9월 모의고사 가형 19번이 바로 이러한 문제입니다. 부채꼴의 중심각의 크기가 0으로 수렴할 때, $$\text{현의 길이$\approx$호의 길이}$$라는 사실을 이용하면 문제의 답을 간단히 구할 수 있습니다. 이 글에서는 이러한 사실을 이용하여 어떻게 극한값을 간단히 구할 수 있을지 알아보겠습니다.
호의 길이와 현의 길이
부채꼴의 중심각의 크기가 0으로 수렴할 때,
부채꼴의 현의 길이\(\approx\)부채꼴의 호의 길이
가 됩니다. 따라서 극한 문제를 풀 때, 만약 부채꼴의 중심각의 크기가 0으로 수렴할 때에는 부채꼴의 현의 길이와 호의 길이가 같다고 두고 문제를 풀 수 있습니다.
현의 길이가 호의 길이로 수렴하는 이유
부채꼴의 현의 길이와 호의 길이의 비를 조사하면 그 이유를 알 수 있습니다. 중심각의 크기가 \(\theta\) (라디안)이고, 반지름이 \(r\)인 부채꼴에서 호의 길이는 \(r\theta\), 현의 길이는 \(2\times r \sin\frac{\theta}{2}\) 입니다.
따라서 중심각의 크기가 0에 수렴할 때, 부채꼴의 현의 길이와 호의 길이의 비의 극한을 구하면 $$\require{cancel}\lim\limits_{\theta \to 0}\frac{현}{호}=\lim\limits_{\theta \to 0}{\frac{2\cancel{r}\sin\frac{\theta}{2}}{\cancel{r}\theta}}=\lim\limits_{\theta \to 0}{\frac{\cancel{2}\sin\frac{\theta}{2}}{\cancel{2}(\frac{\theta}{2})}}=1$$이 됩니다. 현과 호의 길이의 비가 1로 수렴하기 때문에 현의 길이는 결국 호의 길이로 근사화 해서 사용할 수 있습니다.
2019학년도 9월 모의고사 가형 19번
이 원의 반지름 \(r=2^n\) 입니다. 따라서 $$n\rightarrow \infty,\ 2^n\rightarrow \infty$$ 이므로 \(n\)이 한없이 커질때, 이 원의 반지름 \(r\)도 한없이 커지게 됩니다. 이제 다음으로 해야 할 일은 반지름의 길이가 길어지면서 \(\angle{POQ}\) 의 크기가 어떻게 바뀌는지 살펴보는 것입니다. 호의 길이와 각 사이의 관계에 의해$$\widehat{PQ}=r\theta=\pi\implies\theta=\frac{\pi}{2^n}$$
다음 그림에서 막대기 모양의 슬라이더를 움직여 반지름 \(r\)의 값을 바꿔 보면, \(r\)이 값이 커질 때, \(\angle{POQ}\) 의 크기는 작아지는 것을 알 수 있습니다.
이 문제에서 $$n\rightarrow \infty,\ \angle{OQP} \rightarrow 0$$ 이고, \(\widehat{PQ}=\pi\) 이므로 $$n\rightarrow \infty,\ \overline{PQ}\approx \pi$$ 라고 두면 피타고라스의 정리를 사용하면 문제의 답을 간단히 구할 수 있습니다. 먼저 \(\overline{OQ}\) 와 \(\overline{OQ}\)는 원 \(C\) 의 반지름이므로 $$\overline{OQ}=\overline{OP}=r$$로 두고, $$\overline{HP}=x,\ \overline{OH}=r-x,\ \overline{QH}=h$$로 두겠습니다.
\(\triangle{QOH}\) 는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리를 사용하면 $$\begin{align}&\overline{OQ}^2=\overline{OH}^2+\overline{OH}^2\\
&\implies r^2=(r-x)^2+h^2\tag{1}\label{eq1}\end{align}$$을 얻을 수 있습니다.
마찬가지로 \(\triangle{QHP}\) 도 직각삼각형이고, \(\overline{PQ}=\pi\) 이므로 $$\begin{align}&\overline{QP}^2=\overline{HP}^2+\overline{QH}^2\\
&\implies \pi^2=x^2+h^2\tag{2}\label{eq2}\end{align}$$를 얻습니다. \(\eqref{eq1}-\eqref{eq2}\)를 계산하면 $$\cancel{r^2}-\pi^2=\cancel{r^2}-2rx\\
$$$$\therefore x=\frac{\pi^2}{2r}$$이 됩니다. 따라서$$\begin{align}\lim\limits_{n\to\infty}&(\overline{OQ}\times\overline{HP})\\&=r\times x\\&=\cancel{r}\times\frac{\pi^2}{2\cancel{r}}\\&=\frac{\pi^2}{2}\end{align}$$
다른삼각함수도형이나 등비급수도형 다룰거는없나여? 닮음 공식 이런거 다 알고있는사실인데 그냥 느려요 찾는것도오래걸리고
말씀하신대로 등비급수와 극한을 도형과 결합된 문제를 풀 때 기본적인 공식을 어떠한 순서로 적용하여 답을 찾아내는지가 가장 어려운 부분입니다. 간략히 말씀드리면 고등학교 과정에서의 도형 문제는 일관된 출제 원리(이차곡선의 정의, 보조선. 등등)가 몇가지 존재합니다. 물론 이 원리를 아는 것 만으로 모든 문제를 쉽게 풀 수 있는 것은 아니지만 이 원리를 이해한다면 문제를 풀기 위한 단계를 찾고, 직관을 기르는데 큰 도움이 됩니다. 예전 부터 생각했던 주제인데 마침 언급을 해주셨네요. 곧 준비해서 올려보도록 하겠습니다.