\(\frac{0}{0}\) 형태를 가진 삼각함수의 극한은 다음과 같은 근사를 사용하여 간단하면서도 빠르게 그 값을 계산할 수 있습니다.
\(x\rightarrow 0\) 일 때, $$\begin{aligned}\sin{x}&\approx x\\\tan{x}&\approx x\\1-\cos{x}&\approx \frac{x^2}{2}\end{aligned}$$
이 글에서는 삼각함수의 근사를 이용해 삼각함수의 극한을 계산하는 법과 주의할 점에 대해서 알아보겠습니다.
삼각함수 근사의 의미
\(\sin{x}\)의 근사
$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$$입니다. \(x\to 0\) 일 때 \(\sin{x}\) 와 \(x\) 의 비가 1에 수렴한다는 것은 두 값의 차이$$x-\sin{x}\to 0$$이 된다는 것을 뜻합니다. 따라서 \(x\to 0\) 일 때, $$\sin{x}\approx x$$라고 근사해 그 값을 계산할 수 있습니다. 이 방법은 0으로 수렴하는 모든 식에 적용 가능합니다. 예를 들어, \(x\to 0\) 이면 $$\frac{x}{2}\to 0,\ x^2\to 0$$ 이므로 $$\sin\frac{x}{2}\to \frac{x}{2},\ \sin{x^2}\to x^2$$과 같이 근사해서 사용 할 수 있습니다.
\(\tan{x}\)의 근사
마찬가지로 $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan{x}}{x}=1$$이므로 \(x\to 0\) 일 때, $$\tan{x}\approx x$$로 근사할 수 있습니다.
\(1-\cos{x}\)의 근사
$$\begin{align}1-\cos{x}&=1-\cos{x}\cdot\frac{1+\cos{x}}{1+\cos{x}}\\&=\frac{1-\cos^2{x}}{1+\cos{x}}\\&=\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}\end{align}$$입니다. 그런데 \(x\to 0\) 일 때, \(1+\cos{x}\to 2\) 이므로 $$\begin{align}&1-\cos^2{x}=\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}\\&\to\frac{\sin^2{x}}{2}\approx\frac{x^2}{2}\end{align}$$로 근사할 수 있습니다.
예제
문제1
다음 극한 값을 구하시오
$$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin{(\sin{(\sin{3x})})}}{2x}}$$
풀이
\(x \to 0\) 일 때, $$\sin(\sin(\sin(3x)))\approx \sin(\sin(3x))\approx \sin(3x) \approx 3x$$로 근사 할 수 있습니다. 따라서 $$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin{(\sin{(\sin{3x})})}}{2x}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$$
문제2
다음 극한 값을 구하시오.
$$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{1-\cos{x}}{(1+\cos{x})\cdot\sin^2{x}}}$$
풀이
\(x \to 0\) 일 때, $$1-\cos{x}\approx \frac{x^2}{2}$$$$1+\cos{x}\to 2$$$$\sin^2{x}\approx x^2$$이므로$$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{1-\cos{x}}{(1+\cos{x})\cdot\sin^2{x}}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\frac{x^2}{2}}{2\cdot x^2}}=\frac{1}{4}$$
맥클로린 급수
삼각함수 근사의 뒤에는 맥클로린 급수라는 배경이 있습니다. 무한 번 미분이 가능한 함수는 함수 위의 어떤 점의 n차 미분계수들의 합으로 그 함수를 표현할 수 있습니다. 이러한 방법을 함수의 테일러 급수 전개라고 합니다. 특히, x 좌표가 0인 점의 n차 미분 계수들의 합을 이용하여 함수를 나타내는 것을 맥클로린 급수 전개라고 부릅니다. 예를 들어, \(\sin(x),\ \cos(x),\ \tan(x)\) 의 맥클로린 급수 전개는 다음과 같습니다. $$\sin{x}=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-…$$$$\cos{x}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-…$$$$\tan{x}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+…$$ (테일러 급수 전개와 맥클로린 급수 전개의 방법은 다른 글에서 구체적으로 다루어보겠습니다.) 다음 그림은 \(y=\sin{x}\) 와 \(y=x,\ y=x-\frac{x^3}{6},\ y=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}\) 의 그래프를 비교한 것입니다. 항의 개수가 더 많아 질 수록 \(y=\sin{x}\) 의 그래프와 점점 더 가까워 지는 것을 볼 수 있습니다.
특히 \(x=0\) 주변에서 세 그래프 모두 \(y=\sin{x}\) 의 그래프와 거의 비슷한 모습을 나타내고 있습니다. 따라서 실제 시험에서는 $$\sin{x}\approx x\ 또는\ x+\frac{x^3}{6}$$와 같이 일차 근사나 삼차 근사식을 사용하는 것만으로 거의 대부분의 문제를 풀 수 있습니다. 마찬가지로 $$1-\cos{x}=1-(1-\frac{x^2}{2})=\frac{x^2}{2}\ 또는\ 1-(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24})=\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$$$$\tan{x}=x\ 또는\ x+\frac{x^3}{3}$$로 근사하면 됩니다.
근사를 이용한 극한 계산의 한계
앞에서 대부분의 문제를 풀 수 있다고 언급을 하였습니다. 사실 이 근사법으로 모든 삼각함수의 극한을 계산할 수 있는 것은 아닙니다. 근사를 하고 난 뒤, 문자의 값과 관계없이 분모가 항등적으로 0이 되는 경우에는 이 근사법을 적용할 수 없습니다. 이럴 때에는 또 다른 형태의 근사법을 사용하거나 적당히 식을 변형하여 문제를 풀어주어야 합니다. 다음은 이 글에서 설명한 근사법만으로는 극한값을 구할 수 없는 전형적인 문제입니다. 출처는 2010학년도 6월 평가원 모의고사 가형 27번 문제입니다.
문제 (2010학년도 6월 평가원 모의고사 가형 27번)
$$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}}$$의 값은?
풀이
\(\sin{x}\approx x,\ \tan{x}\approx x\)로 근사하면 $$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^{1-x}-e^{1-x}}{x-x}}=\lim\limits_{x \to 0}{\frac{0-0}{0-0}}$$이 되어 이 근사법으로는 올바른 답을 계산할 수 없습니다. 이것은 근사하려는 식의 분모가 \(x\)의 값과 관계없이 항상 0이 되어버리기 때문입니다. 따라서 이 문제를 풀기위해서는 이 식에 알맞은 적당한 근사법(→tanx-sinx의 근사화)를 사용하거나 식을 적당히 변형해야 합니다.
$$\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}=\frac{e^{1-\tan{x}}(e^{\tan{x}-\sin{x}}-1)}{\tan{x}-\sin{x}}$$로 두고 $$\tan{x}-\sin{x}=t$$로 치환하면 \(x\to 0 \) 일 때$$e^{1-\tan{x}}\to e,\ t\to 0,\ \frac{e^{t}-1}{t}\to 1$$이므로$$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}}=\lim\limits_{x\to 0}{e^{1-\tan{x}}}\cdot \lim\limits_{t\to 0}{\frac{e^{t}-1}{t}}=e\cdot 1 = e$$가 됩니다.
맥클로린 급수 전개를 이용한 풀이
사실, $$\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}$$를 맥클로린 급수로 전개한다면 $$e-ex+\frac{ex^2}{2}-\frac{ex^4}{4}+…$$가 됩니다. 따라서 \(x \to 0\) 일 때, 이 식은 \(e-ex\)로 근사하여 극한값을 계산할 수 있습니다. 근사를 하고 극한 값을 계산하면 $$\lim\limits_{x\to 0}{e-ex}=e$$가 됩니다.
위 그림에서 x의 값이 0 근처일 때, 두 함수 $$y=\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}},\ y=e-ex$$ 의 그래프가 거의 비슷한 모양을 가진다는 것을 확인할 수 있습니다.
아래 문제에서 사인과 탄젠트를 각각 x-x^3/6과 x+x^3/3으로 근사시켜도 해결할 수 있습니다. 첫째항을 전개시킨 것에 근사시켰을 때 답이 안나오면 다음 항까지 전개시킨 것으로 문제를 풀면 되지 않을까요?
좋은 지적 감사합니다. 제가 이삿짐 정리후 글을 수정하고 답장을 달아야지 생각만 하다가 답장이 많이 늦어버렸습니다. 말씀하신 것처럼 이 문제는 삼차 근사를 이용한 풀이가 가능합니다. 하지만 문제에 따라서 3차보다 높은 근사가 필요할 때가 있으며, 어느 정도의 근사가 필요한지 판단하고 그 계산량을 가늠해보는 것은 중요하다는 것이 원래 글의 의도였는데 그 부분이 빠져 있었네요. 말씀하신 부분을 반영하여 글을 수정하고 관련 내용을 곧 추가하겠습니다!
근사를 쓸 수 없는 경우에서
lim (x->0) 8^x -4^x -2^x +1 / ln(1+2x^2)
에서 ln(1+2x^2)~2x^2이지만 분모가 0으로 나오지 않는 경우도 있는것 같아요
감사합니다. ^^ 말씀해 주신대로 알려주신 식은 분자를 일차 근사하는 것만으로는극한값을 구할 수는 없습니다. 근사를 통해 극한 값을 구하려면 분자를 이차 근사까지는 해야 합니다. 테일러 전개에 대한 이야기를 올리려고 하는데, 말씀해 주신 식을 예로 들어 적으려고 합니다. 혹시 분모가 0이 되지 않는다는 부분을 조금 더 자세히 설명해 주실 수 있을까요?
분자: 8^x-4^x-2^x+1=(8^x-1)-(4^x-1)-(2^x-1)로 두면 8^x-1~xln 8이 되어서 분자식은 x로 묶이게 됩니다 분모 : 2x^2이 되구요 결론은 lim (x->0) ln8-ln4-ln2 / 2x 즉, lim (x->0) 0 / 2x 이런 꼴이 나오게 됩니다. (위 식은 lim (x->0) 0-0/0-0이 아닌 lim(x->0) 0/0인것 같습니다.그리고 분모가 극한 취하기 전 정확히 0 꼴로 나오지는 않는 경우도 있구요) 물론 고등학교 수준 정식 풀이는 분자를 (4^x-1)(2^x-1)로 묶어서 풀면 됩니다 근사로 풀면 풀리는 문제가 있고 안풀리는 문제가 생기므로 근사를 마치 만능키처럼 쓰면 안된다는게 평가원의 취지였던것 같습니다. 물론 저는 맥클로린 급수전개로 풀었습니다만 초월함수를 급수형태로 변환한다는것은 일반화된 테일러 급수정리의 한 예이며, 대학교 미적분 시간에 배울내용이니 학생 위주의 설명에는 적절한 수준 조절이 필요한… Read more »
아, 자세한 설명 감사합니다. 잘 이해했습니다. 근사에 대한 글을 쓸 때 좋은 예로 활용하겠습니다. 근사의 한계에 대해서는 저도 같은 의견입니다. (다만 앞 댓글에서 말씀드린 것처럼 이 식의 분모의 근사식이 2x^2으로 이차항이기 때문에 분자에 들어있는 지수식을 근사할때에는 일차 근사를 해서는 안되고, 반드시 이차 이상의 근사가 필요하긴 합니다. a^x ~ 1 + (lna)x+1/2(lna)^2x^2) 물론 근사의 정도를 어느정도까지 하는지는 식에 따라 결정이 되어야 하고, 임의의 식에서 이차 근사까지 가능하려면 결국 초월함수의 급수 전개를 할 수 있어야 하기 때문에 아직 그에 대한 개념이 정확하게 잡히지 않은 상태에서 그 한계와 의미를 분명히 하지 않고 사용하는 것은 좋지 않은 것 같습니다. 좋은 의견 남겨주시고 소중한 시간을… Read more »
안녕하세요 근사에 관해 궁금한 점이 있어서 근사 나누기 근사에서 문제가 되는 상황이 있을까요?
네~ 문제가 되는 경우가 몇가지 있습니다.
예를 들어 분모가 sin(x)-tan(x)일때 sin(x)와 tan(x)를 x로 근사하면 분모가 x-x=0이 되어 더이상의 계산이 불가능합니다. [관련글:tan(x)-sin(x)]을 참조하시면 될 것 같습니다.
예를 들어 윗분의 댓글처럼 분모가 ln(1+2x^2)→2x^2 으로 근사하고, 분자의 a^x-1→(lna)x 로 근사하면 분모는 2차식, 분자는 1차식이 되어 더이상의 계산이 불가능해집니다. 이럴 때에는 분모와 분자의 차수가 같아지도록 분자를 근사하거나 (예를 들어, a^x-1→(lna)x+1/2(lna)^2 x^2로 이차항까지 근사) 극한의 정의를 이용한 표준적인 풀이를 해주어야 합니다.
저기 그래프를 표현하신 프로그램은 어떤 프로그램을 쓰셨나요??