소소하지만 확실한 테크닉 – 삼각함수 근사를 이용한 극한의 계산

  \(\frac{0}{0}\) 형태를 가진 삼각함수의 극한은 다음과 같은 근사를 사용하여 간단하면서도 빠르게 그 값을 계산할 수 있습니다.

\(x\rightarrow 0\) 일 때, $$\begin{aligned}\sin{x}&\approx x\\\tan{x}&\approx x\\1-\cos{x}&\approx \frac{x^2}{2}\end{aligned}$$

이 글에서는 삼각함수의 근사를 이용해 삼각함수의 극한을 계산하는 법과 주의할 점에 대해서 알아보겠습니다.

삼각함수 근사의 의미

\(\sin{x}\)의 근사

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$$입니다. \(x\to 0\) 일 때 \(\sin{x}\) 와 \(x\) 의 비가 1에 수렴한다는 것은 두 값의 차이$$x-\sin{x}\to 0$$이 된다는 것을 뜻합니다. 따라서 \(x\to 0\) 일 때, $$\sin{x}\approx x$$라고 근사해 그 값을 계산할 수 있습니다. 이 방법은 0으로 수렴하는 모든 식에 적용 가능합니다. 예를 들어, \(x\to 0\) 이면 $$\frac{x}{2}\to 0,\ x^2\to 0$$ 이므로 $$\sin\frac{x}{2}\to \frac{x}{2},\ \sin{x^2}\to x^2$$과 같이 근사해서 사용 할 수 있습니다.

\(\tan{x}\)의 근사

마찬가지로 $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan{x}}{x}=1$$이므로 \(x\to 0\) 일 때, $$\tan{x}\approx x$$로 근사할 수 있습니다.

\(1-\cos{x}\)의 근사

$$\begin{align}1-\cos{x}&=1-\cos{x}\cdot\frac{1+\cos{x}}{1+\cos{x}}\\&=\frac{1-\cos^2{x}}{1+\cos{x}}\\&=\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}\end{align}$$입니다. 그런데 \(x\to 0\) 일 때, \(1+\cos{x}\to 2\) 이므로 $$\begin{align}&1-\cos^2{x}=\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}\\&\to\frac{\sin^2{x}}{2}\approx\frac{x^2}{2}\end{align}$$로 근사할 수 있습니다.

예제

문제1

다음 극한 값을 구하시오

$$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin{(\sin{(\sin{3x})})}}{2x}}$$

풀이

\(x \to 0\) 일 때, $$\sin(\sin(\sin(3x)))\approx \sin(\sin(3x))\approx \sin(3x) \approx 3x$$로 근사 할 수 있습니다. 따라서 $$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin{(\sin{(\sin{3x})})}}{2x}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$$

문제2

다음 극한 값을 구하시오.

$$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{1-\cos{x}}{(1+\cos{x})\cdot\sin^2{x}}}$$

풀이

\(x \to 0\) 일 때, $$1-\cos{x}\approx \frac{x^2}{2}$$$$1+\cos{x}\to 2$$$$\sin^2{x}\approx x^2$$이므로$$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{1-\cos{x}}{(1+\cos{x})\cdot\sin^2{x}}}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\frac{x^2}{2}}{2\cdot x^2}}=\frac{1}{4}$$

맥클로린 급수

삼각함수 근사의 뒤에는 맥클로린 급수라는 배경이 있습니다. 무한 번 미분이 가능한 함수는 함수 위의 어떤 점의 n차 미분계수들의 합으로 그 함수를 표현할 수 있습니다. 이러한 방법을 함수의 테일러 급수 전개라고 합니다. 특히, x 좌표가 0인 점의 n차 미분 계수들의 합을 이용하여 함수를 나타내는 것을 맥클로린 급수 전개라고 부릅니다.  예를 들어, \(\sin(x),\ \cos(x),\ \tan(x)\) 의 맥클로린 급수 전개는 다음과 같습니다.  $$\sin{x}=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-…$$$$\cos{x}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-…$$$$\tan{x}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+…$$ (테일러 급수 전개와 맥클로린 급수 전개의 방법은 다른 글에서 구체적으로 다루어보겠습니다.)  다음 그림은 \(y=\sin{x}\) 와 \(y=x,\ y=x-\frac{x^3}{6},\ y=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}\) 의 그래프를 비교한 것입니다. 항의 개수가 더 많아 질 수록 \(y=\sin{x}\) 의 그래프와 점점 더 가까워 지는 것을 볼 수 있습니다.

특히 \(x=0\) 주변에서 세 그래프 모두 \(y=\sin{x}\) 의 그래프와 거의 비슷한 모습을 나타내고 있습니다. 따라서 실제 시험에서는 $$\sin{x}\approx x\ 또는\ x+\frac{x^3}{6}$$와 같이 일차 근사나 삼차 근사식을 사용하는 것만으로 거의 대부분의 문제를 풀 수 있습니다. 마찬가지로 $$1-\cos{x}=1-(1-\frac{x^2}{2})=\frac{x^2}{2}\ 또는\ 1-(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24})=\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$$$$\tan{x}=x\ 또는\ x+\frac{x^3}{3}$$로 근사하면 됩니다.

근사를 이용한 극한 계산의 한계

앞에서 대부분의 문제를 풀 수 있다고 언급을 하였습니다. 사실 이 근사법으로 모든 삼각함수의 극한을 계산할 수 있는 것은 아닙니다. 근사를 하고 난 뒤, 문자의 값과 관계없이 분모가 항등적으로 0이 되는 경우에는 이 근사법을 적용할 수 없습니다. 이럴 때에는 또 다른 형태의 근사법을 사용하거나 적당히 식을 변형하여 문제를 풀어주어야 합니다. 다음은 이 글에서 설명한 근사법만으로는 극한값을 구할 수 없는 전형적인 문제입니다. 출처는 2010학년도 6월 평가원 모의고사 가형 27번 문제입니다.

문제 (2010학년도 6월 평가원 모의고사 가형 27번)

$$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}}$$의 값은?

풀이

\(\sin{x}\approx x,\ \tan{x}\approx x\)로 근사하면 $$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^{1-x}-e^{1-x}}{x-x}}=\lim\limits_{x \to 0}{\frac{0-0}{0-0}}$$이 되어 이 근사법으로는 올바른 답을 계산할 수 없습니다. 이것은 근사하려는 식의 분모가 \(x\)의 값과 관계없이 항상 0이 되어버리기 때문입니다. 따라서 이 문제를 풀기위해서는 이 식에 알맞은 적당한 근사법(→tanx-sinx의 근사화)를 사용하거나 식을 적당히 변형해야 합니다.

$$\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}=\frac{e^{1-\tan{x}}(e^{\tan{x}-\sin{x}}-1)}{\tan{x}-\sin{x}}$$로 두고 $$\tan{x}-\sin{x}=t$$로 치환하면 \(x\to 0 \) 일 때$$e^{1-\tan{x}}\to e,\ t\to 0,\ \frac{e^{t}-1}{t}\to 1$$이므로$$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}}=\lim\limits_{x\to 0}{e^{1-\tan{x}}}\cdot \lim\limits_{t\to 0}{\frac{e^{t}-1}{t}}=e\cdot 1 = e$$가 됩니다.

맥클로린 급수 전개를 이용한 풀이

사실, $$\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}}$$를 맥클로린 급수로 전개한다면 $$e-ex+\frac{ex^2}{2}-\frac{ex^4}{4}+…$$가 됩니다. 따라서 \(x \to 0\) 일 때, 이 식은 \(e-ex\)로 근사하여 극한값을 계산할 수 있습니다. 근사를 하고 극한 값을 계산하면 $$\lim\limits_{x\to 0}{e-ex}=e$$가 됩니다.

위 그림에서 x의 값이 0 근처일 때, 두 함수 $$y=\frac{e^{1-\sin{x}}-e^{1-\tan{x}}}{\tan{x}-\sin{x}},\ y=e-ex$$ 의 그래프가 거의 비슷한 모양을 가진다는 것을 확인할 수 있습니다.

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4 years ago

아래 문제에서 사인과 탄젠트를 각각 x-x^3/6과 x+x^3/3으로 근사시켜도 해결할 수 있습니다. 첫째항을 전개시킨 것에 근사시켰을 때 답이 안나오면 다음 항까지 전개시킨 것으로 문제를 풀면 되지 않을까요?

홍홍
3 years ago

근사를 쓸 수 없는 경우에서
lim (x->0) 8^x -4^x -2^x +1 / ln(1+2x^2)
에서 ln(1+2x^2)~2x^2이지만 분모가 0으로 나오지 않는 경우도 있는것 같아요

홍홍
3 years ago
Reply to  godingMath

분자: 8^x-4^x-2^x+1=(8^x-1)-(4^x-1)-(2^x-1)로 두면 8^x-1~xln 8이 되어서 분자식은 x로 묶이게 됩니다 분모 : 2x^2이 되구요 결론은 lim (x->0) ln8-ln4-ln2 / 2x 즉, lim (x->0) 0 / 2x 이런 꼴이 나오게 됩니다. (위 식은 lim (x->0) 0-0/0-0이 아닌 lim(x->0) 0/0인것 같습니다.그리고 분모가 극한 취하기 전 정확히 0 꼴로 나오지는 않는 경우도 있구요) 물론 고등학교 수준 정식 풀이는 분자를 (4^x-1)(2^x-1)로 묶어서 풀면 됩니다 근사로 풀면 풀리는 문제가 있고 안풀리는 문제가 생기므로 근사를 마치 만능키처럼 쓰면 안된다는게 평가원의 취지였던것 같습니다. 물론 저는 맥클로린 급수전개로 풀었습니다만 초월함수를 급수형태로 변환한다는것은 일반화된 테일러 급수정리의 한 예이며, 대학교 미적분 시간에 배울내용이니 학생 위주의 설명에는 적절한 수준 조절이 필요한… Read more »

ddd
3 years ago

안녕하세요 근사에 관해 궁금한 점이 있어서 근사 나누기 근사에서 문제가 되는 상황이 있을까요?

힘겨워한날에너를
1 year ago

저기 그래프를 표현하신 프로그램은 어떤 프로그램을 쓰셨나요??