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삼각형의 중선을 이용하면 복잡한 벡터의 내적 문제를 쉽게 풀 수 있습니다. 삼각형 OAB에서 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\) 이라 하면 다음과 같은 사실이 성립합니다.

$$\mathrm{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=OM^2-MB^2}\tag{*}\label{eq*}$$

이 공식은 벡터의 내적 문제, 특히 최대/최소 문제를 해결하기 위한 최강의 공식 중 하나입니다. 이 글에서는 이 공식의 증명과 그 의미를 설명하고, 이 공식과 관계있는 기출 문제를 풀어봅니다.

증명

\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{b}\)라 두면, $$\begin{align}&\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\\
&\Rightarrow\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\end{align}$$$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OM}}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\end{align}$$ 이제 \(\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^2\)과  \(\left|\overrightarrow{\mathrm{BM}}\right|^2\)을 계산해보면, $$\begin{align}&\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^2=\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|^2\\&=\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\\
&=\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)\tag{1}\label{eq1}\end{align}$$

$$\begin{align}&\left|\overrightarrow{\mathrm{BM}}\right|^2=\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BA}}\right|^2\\&=\frac{1}{4}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\\
&=\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)\tag{2}\label{eq2}\end{align}$$입니다. 식\(\eqref{eq1}\)에서 식\(\eqref{eq2}\)를 빼면 $$\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^2-\left|\overrightarrow{\mathrm{BM}}\right|^2=\mathrm{OM}^2-\mathrm{MB}^2=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$를 얻을 수 있습니다.

이 공식은 언제 사용할 수 있는가?

두 점이 고정되어 있고, 한 점이 움직일 때

이 공식은 두 점이 고정되어 있고, 한 점이 움직이는 상황에서 내적을 계산할 때 사용합니다. 예를 들어 점 \(\mathrm{P}\)가 움직이는 점이고, 두 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)가 고정되어 있을 때, \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}\) 의 최대 최소를 구해야 하는 상황을 생각해보겠습니다. 공식\(\eqref{eq*}\)을 이용하면 $$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\mathrm{PM}^2-\mathrm{MB}^2$$입니다. 그런데 두 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)가 고정되어 있으므로 \(\mathrm{AB}\)의 길이도 고정이 되어 \(\mathrm{MB}\) 의 길이도 고정이 되어버립니다. 즉, \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}\)가 최대/최소가 될 때 점\(\mathrm{P}\)의 위치는 \(\mathrm{PM}\)이 최대/최소가 될 때 점 \(\mathrm{P}\)의 위치와 일치하게 됩니다. 따라서  \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}\)의 최대/최소를 구할 때에는 \(\mathrm{PM}^2\)의 최대/최소를 구하는 것으로 문제를 풀 수 있습니다.

공식의 의미

내적의 최대/최소 문제를 풀 때 이 공식을 사용해야 하는 이유는 이 공식을 사용하고 나면 내적의 결과를 구하기 위해 신경써야 할 것이 세 개에서 한 개로 줄어 버리기 때문입니다. 점 \(\mathrm{P}\)가 움직일 때 변하는 것은

①. \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}\)의 길이
②. \(\overrightarrow{\mathrm{PB}}\)의 길이
③. \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}\)와 \(\overrightarrow{\mathrm{PB}}\) 사이의 각도

로 모두 세 가지 입니다.  벡터 내적의 결과에 영향을 주는 원인이 모두 3개나 되기 때문에 이 3개의 정보를 모두 종합하여 벡터 내적의 최대/최소를 찾으려고 하면 아주 복잡한 문제가 되어 버립니다.

하지만 \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}\) 대신, \(\mathrm{PM}^2-\mathrm{MB}^2\)을 사용하게 되면 \(\mathrm{PM}\)의 길이 하나에만 신경쓰면 되므로 문제에서 요구하는 것을 찾는 것이 더 쉬워지게 되는 것입니다.

예제

공식 \(\eqref{eq*}\)를 사용할 수 있는 문제 – 두 점이 고정되어 있고, 한 점이 움직일 때 두 벡터의 내적을 계산하 문제 – 는 그동안 모의고사에서 아주 많이 출제되었습니다. 그 중 몇 문제를 나열해 보면

● 2019학년도 평가원 6월 모의고사 가형 29번
● 2017학년도 사관학교 29번
● 2013학년도 수능 가형 26번
● 2005학년도 평가원 12월 수능 예비평가 가형 24번

입니다. 이 중 2019학년도 평가원 6월 모의고사 가형 29번 문제는 공식 \(\eqref{eq*}\)뿐만 아니라 다른 의미를 가지고 있는 문제이기 때문에 다른 글에서 따로 소개하기로 하고, 평가원 문제를 2개 골라 풀어보면서 식을 사용하는 방법과 의미를 알아보겠습니다.

2005학년도 평가원 12월 수능 예비 평가 가형 24번

두 위치벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(2,5)\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(4,3)\)이 주어졌을 때 다음을 만족시키는 점 \(\mathrm{C}\)에 대한 위치벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)의 크기의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. $$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CB}}=0$$

풀이

(여러가지 방법으로 풀이가 가능하지만) 여기에서는 두 점 \(\mathrm{A}(2,5)\), \(\mathrm{B}(4,3)\)가 고정되어 있고, 점 \(\mathrm{C}\)는 위치를 바꿀 수 있으므로 공식\(\eqref{eq*}\)를 사용하여 문제를 풀어보겠습니다. 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점을 \(\mathrm{M}(3,4)\)라 두면, $$\begin{align}&\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CB}}=0\\
&\Rightarrow\mathrm{CM}^2-\mathrm{MB}^2=0\end{align}$$ $$\therefore \mathrm{CM}=\mathrm{MB}=\sqrt{(3-4)^2+(4-3)^2}=\sqrt{2}$$ 점 \(\mathrm{C}\)의 좌표를 \((x,y)\)라 하면, $$\begin{align}&\mathrm{MB}=\sqrt{2}\\
&\Rightarrow\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{2}\\
&\Rightarrow (x-3)^2+(y-4)^2=2\end{align}$$입니다. 따라서 점 \(\mathrm{C}\)는 중심이 \((3,4)\)이고 반지름이 \(\sqrt{2}\)인 원 위에 존재 해야 합니다.

그런데 \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)의 크기는 선분 \(\mathrm{OC}\)의 길이를 뜻합니다. \(\mathrm{OC}\)의 길이가 최대/최소가 되는 때가 언제일지를 생각해보겠습니다. 직선 \(\mathrm{OM}\)이 원과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{C_1}\), \(\mathrm{C_2}\)라 하면, \(\mathrm{OC}\)가 최대가 될 때에는 \(\mathrm{C=C_1}\), \(\mathrm{OC}\)가 최소가 될 때에는 \(\mathrm{C=C_2}\) 일 때가 됩니다. 원의 반지름은 \(\sqrt{2}\)이고, \(\mathrm{OM}=\sqrt{3^2+4^2}=5\)이므로 \(\mathrm{OC}\) 의 최댓값과 최솟값은 각각 $$5+\sqrt{2}, 5-\sqrt{2}$$가 됩니다. 따라서 \(\mathrm{OC}\)의 최댓값과 최솟값의 합은 $$(5+\sqrt{2})+(5-\sqrt{2})=10$$

2013학년도 수능 가형 26번

한변의 길이가 2인 정삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\)라 하자. 점 \(\mathrm{P}\)가 선분 \(\mathrm{AH}\) 위를 움직일 때, \(\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|\) 의 최댓값은 \(\dfrac{q}{p}\)이다. \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

풀이

두 점 \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{B}\)는 고정되어 있고, 점 \(\mathrm{P}\)는 선분 \(\mathrm{AH}\)위를 움직이고 있으므로 공식\(\eqref{eq*}\)를 이용할 수 있습니다. 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\)이라 하면, $$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}&=\mathrm{PM}^2-\mathrm{MB}^2\\
&=\mathrm{PM}^2-1^2\\
&=\mathrm{PM}^2-1\tag{4}\label{eq4}\end{align}$$ 입니다. 이제 점 \(\mathrm{P}\)를 움직여가며 \(\mathrm{PM}\)이 언제 최대가 되거나 최소가 되는 지를 조사해 보면,

● 최대 : 점 \(\mathrm{P}\)가 점 \(\mathrm{A}\)나 점 \(\mathrm{H}\)에 있을 때 : \(\mathrm{PM}=1\)

● 최소 : 점 \(\mathrm{P}\)가 점 \(\mathrm{AH}\)의 중점에 있을 때 : \(\mathrm{PM}=\dfrac{1}{2}\)

이라는 것을 알 수 있습니다. 즉, $$\left(\frac{1}{2}\right)^2\leq\mathrm{PM}^2\leq 1^2$$ 이므로  $$\begin{align}&\left(\frac{1}{2}\right)^2-1\leq\mathrm{PM}^2-1\leq 1^2-1\\
&\Rightarrow -\frac{3}{4}\leq\mathrm{PM}^2-1\leq 0\\
&\Rightarrow 0\leq\left|\mathrm{PM}^2-1\right|\leq\frac{3}{4}\end{align}$$입니다. 그런데 식\(\eqref{eq4}\)에서 $$\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|=\left|\mathrm{PM}^2-1\right|$$이므로, $$0\leq \left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|\leq\frac{3}{4}$$이 결과에서 \(\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|\)의 최대값은 \(\dfrac{3}{4}\)이므로 \(p=4\), \(q=3\) 입니다. 따라서 $$p+q=7$$