대칭성 | godingMath

사차함수의 대칭성 Ⅳ – 변곡점을 지나는 직선과 넓이의 비율

사차함수 $f(x)$의 그래프와 사차함수 $f(x)$의 두 변곡점을 지나는 직선으로 둘러싸인 세 부분의 넓이의 비는 다음과 같습니다.

$$S_1:S_2:S_3=1:2:1$$

April 14, 2020 함수 ★★☆☆☆ 4차함수, 대칭성, 비율관계, 사차함수, 적분Leave a Comment

사차함수의 대칭성 Ⅲ – 이중접선과 넓이의 비율

사차함수 그래프의 이중접선을 $l_1$, 이중 접선과 평행하고 한 점에서 접하는 직선을 $l_2$ 라고 할 때, 사차함수의 그래프와 $l_2$로 둘러싸인 부분의 넓이와 사차함수의 그래프와 $l_1$으로 둘러싸인 부분의 넓이의 비율은 다음과 같습니다.

$$S_1:S_2:S_3=1:\sqrt{2}:1$$

(more…)

April 12, 2020 함수 ★★☆☆☆ 4차함수, 넓이, 대칭성, 비율관계, 사차함수, 적분7 Comments

사차함수의 대칭성 II – 이중접선과 그래프의 비율 관계

사차함수 그래프의 대칭성과 $1:\sqrt{2}$ 법칙 를 확장하면, 사차함수 그래프의 두 변곡점을 지나는 직선 $l$에 대해 다음과 같은 대칭성과 비율 관계를 확인할 수 있습니다.

사차함수의 이중접선과 평행하고 한점에서 접하는 직선, 변곡점을 지나는 직선, 이중접선을 각각 $l_1$, $l_2$, $l_3$라 할 때,

[관계1]. $l_1\parallel l_2 \parallel l_3$
[관계2]. $l_1$과 $l_2$사이의 거리:$l_2$와 $l_3$사이의 거리=$5:4$
[관계3]. 선분 $\mathrm{HI}$과 $\mathrm{JK}$의 중점은 일치한다.
[관계4]. 세 점 $\mathrm{E}$, $\mathrm{G}$, $\mathrm{F}$는 한 직선 위에 있고, $x$축과 직교한다.
[관계5]. $\mathrm{HI}:\mathrm{JK}:\mathrm{AB}:\mathrm{CD}=1:\sqrt{5}:\sqrt{3}:\sqrt{6}$

(more…)

March 31, 2020 함수 ★★☆☆☆ 4차함수, 대칭성, 비율관계, 사차함수, 정부개2 Comments

사차함수 그래프의 대칭성과 $1:\sqrt{2}$ 법칙

이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 다음과 같은 비율 관계를 갖고 있습니다.

사차함수의 그래프와 이중접선이 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 접하고, 선분$\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{F}$, 이중접선과 평행한 직선이 사차함수의 그래프와 점$\mathrm{E}$에서 접하고 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에서 만날 때,

[관계①]. 점$\mathrm{E}$의 $x$좌표=점$\mathrm{F}$의 $x$좌표
[관계②]. $\mathrm{AF}:\mathrm{FB}:\mathrm{CE}:\mathrm{ED}=1:1:\sqrt{2}:\sqrt{2}$

(more…)

March 22, 2020 개념과 활용, 함수 ★★★☆☆ 4차함수, 대칭성15 Comments

소소하지만 확실한 테크닉 – 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 합

삼차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$가 $x=\alpha$, $x=\beta$ 에서 각각 극댓값과 극솟값 $f(\alpha)$ $f(\beta)$를 갖고 변곡점의 좌표가 $(m, f(m))$ 일 때, 두 극값의 합 $f(\alpha)+f(\beta)$는 다음과 같습니다.

$$f(\alpha)+f(\beta)=2f(m)=2f\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$

이 식을 사용하면 극값의 합과 관계된 문제에서 복잡한 계산을 많이 줄일 수 있습니다. 이 글에서는 두 극값의 합이 변곡점과 어떤 관계를 갖고 있는지 설명합니다.

(more…)