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\(t=\tan x\)로 치환하면,

$$\int\frac{1}{1+x^2}dx \to \int dt$$

이 글에서는 삼각치환의 비밀과 그 뒤에 있는 수학적 배경에 대해 이야기 합니다.

교과서의 설명

모든 교과서에서 삼각치환의 과정을 다음과 같이 설명하고 있습니다. \(t=\tan x\) 라 두면, $$dt=\sec^2x dx,\ 1+\tan^2 t=\sec^2t$$ 이므로 $$\begin{align}\int\frac{1}{1+x^2}dx&=\int\frac{1}{1+\tan^2 t}\sec^2dt\\&=\int\frac{1}{\sec^2{t}}\sec^2tdt\\&=\int dt\end{align}$$ 이 과정을 이해하는 것은 어렵지 않지만, 이 설명만으로는 왜 이렇게 치환을 해야 하는지, 적분하려는 함수가 함수가 어떻게 상수 1이 되는지에 대해서는 그 의미와 목적을 뚜렷하게 이해하는 것은 어렵습니다. 사실 이 치환의 뒤에는 역도함수의 적분이라는 아주 재미있는 개념이 숨어 있습니다.

삼각치환의 비밀

이 치환의 비밀은 바로 적분해야 하는 함수 \(\frac{1}{1+x^2}\) 가  \(\tan x\) 의 역함수인 \(\arctan x\) 또는 \(\tan^{-1} x\) 의 도함수라는 사실을 이용하는 것입니다. 즉 $$\frac{1}{1+x^2}=(\tan^{-1} x)’$$ 입니다. 역삼각함수의 미분법(→역삼각함수 acrsin(x), acrcos(x), arctan(x)의 미분)에 따르면, \(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x,\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라 할 때,

$$\begin{align}
\frac{d}{dx}\sin^{-1}x&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\cos^{-1}x&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx}\tan^{-1}x&=\frac{1}{1+x^2}
\end{align}$$

사실 $$\int\frac{1}{1+x^2}dx$$ 은 단순히 \(\tan x\)의 역함수인 \(\tan^{-1}x\) 의 도함수(역도함수,역-도함수)를 적분하는 것입니다. 그러므로 역삼각함수 \(\tan^{-1}x\) 를 사용한다면 굳이 치환적분을 사용할 이유는 없습니다. $$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\int (\tan^{-1}x)’dx=\tan^{-1}x+C$$ 가 되기 때문입니다. 하지만 역삼각함수의 미적분을 포함한 여러 성질을 고등학교 교육과정에서 다루고 있지 않습니다. 따라서 역삼각함수의 도함수를 적분할 때 그 함수의  원시함수인 역삼각함수를 직접 사용하지 못하고 치환적분을 사용하는 것입니다.

즉, 삼각치환은 역삼각함수의 도함수를 적분할 때 적분하려는 함수의 원시함수인 역삼각함수를 사용하지 않고 치환적분을 통해 적분을 계산하는 방법이라 할 수 있습니다.

역도함수의 적분법

그렇다면 역도함수의 적분을 할 때 어떠한 치환을 사용하면 될까요? 그리고 그 치환의 결과는 어떻게 될까요?

결론부터 먼저 이야기하면, 역도함수의 적분을 할 때에는 언제나

적분변수를 역도함수의 원시함수의 역함수로 치환

하면 적분해야 하는 함수가 언제나 1로 바뀌게 됩니다.

적분하고자 하는 역도함수를 \(f(x)\), 역도함수의 원시함수(부정적분)을 \(F(x)\), \(F(x)\) 의 역함수를 \(G(x)\) 라 하겠습니다. (따라서 \(F(G(x))=G(F(x))=x\) 가 됩니다.) $$\int f(x)dx$$를 계산 할 때, $$x=G(t)$$로 치환하면, $$f(x)=F'(x)=F'(G(t)),\ dx=G'(t)dt$$ 이므로 $$\begin{align}\int f(x)dx&=\int F'(G(t))G'(t)dt\\&=\int (F(G(t)))’dt\\&=\int (t)’dt\\&=\int 1dt\\&=\int dt\end{align}$$가 되어 적분해야 하는 함수가 1로 바뀝니다.

따라서 역도함수를 적분할 때 적분 변수를 역도함수의 원시함수에 해당하는 함수의 역함수로 치환하면 언제나 적분해야 하는 함수가 1로 바뀌게 됩니다. 예를 들어 $$f(x)=\frac{1}{1+x^2},\ F(x)=\tan^{-1}x,\ G(x)=\tan x$$ 라 하고, $$x=G(t)=\tan t$$로 치환하면, 역도함수의 적분법에 의해 $$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\int dt$$ 가 됩니다.

예:역도함수의 적분

치환적분을 사용하여 역도함수의 적분을 하는 다른 예를 살펴보겠습니다.

\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)

$$(\sin^{-1} x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ 이므로, $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$$를 계산할 때, $$t=\sin x$$로 두면, 역도함수의 치환적분에 의해 $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int dt$$ 가 됩니다.

\(\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)

$$(\cos^{-1} x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ 이므로, $$\int-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$$를 계산할 때, $$t=\cos x$$로 두면, 역도함수의 치환적분에 의해 $$\int-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int dt$$ 가 됩니다.