원점을 중심으로 [어떤 점을 원점을 중심으로 \(\pm 90^\circ\) 회전이동]하는 것과 같은 방법으로 평면 벡터를 \(\pm 90^\circ\) 회전이동한 결과도 간단히 표현할 수 있습니다.
평면 벡터 \(\overrightarrow{p}=(a,b)\)에 대해
$$\begin{align}&(a,b)\xrightarrow{+90^\circ회전}(-b,a)\\
&(a,b)\xrightarrow{-90^\circ회전}(b,-a)\end{align}$$
2010학년도 가형 14번 문제는 이러한 벡터의 회전이동을 어떻게 이용할 수 있는지 잘 보여주는 문제입니다. 보조선을 이용한 해법이 많이 알려져있지만, 벡터의 회전 이동을 이용하면 보조선 없이 짧은 계산만으로 문제가 요구하는 것을 찾아낼 수 있습니다.
원리
벡터의 \(\pm{90^\circ}\) 회전이동의 원리와 결과는 원점을 중심으로 [어떤 점을 \(\pm 90^\circ\) 회전이동] 하는 것과 같습니다.
2010학년도 가형 14번
평면에서 그림의 오각형 \(\mathrm{ABCDE}\)가 $$\mathrm{\overline{AB}=\overline{BC},\ \overline{AE}=\overline{ED},\ \angle{B}=\angle{E}}=90^\circ$$를 만족시킬 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?
ㄱ.선분 \(\mathrm{BE}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)에 대하여 \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}+\mathrm{\overrightarrow{AE}}\)와 \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\)은 서로 평행하다.
ㄴ. \(\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{ED}}\)
ㄷ.\(\mathrm{|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{ED}|=|\overrightarrow{BE}|}\)
풀이
$$\begin{align}
\mathrm{\overrightarrow{AB}}&=(a,b)\\\mathrm{\overrightarrow{BA}}&=-\mathrm{\overrightarrow{AB}}=(-a,-b)\\
\mathrm{\overrightarrow{AE}}&=(p,q)\\ \mathrm{\overrightarrow{EA}}&=-\mathrm{\overrightarrow{AE}}=(-p,-q)
\end{align}$$
ㄱ. \(\mathrm{M}\)이 선분 \(\mathrm{BE}\)의 중점이므로 $$\mathrm{\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}\right)}$$ 입니다. 따라서 \(\mathrm{\overrightarrow{AM}}\)은 \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}+\mathrm{\overrightarrow{AE}}\)의 실수배이므로 \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}+\mathrm{\overrightarrow{AE}}\)와 \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\)는 서로 평행합니다. (참)
ㄴ. \(\mathrm{\overrightarrow{BC}}\)는 \(\mathrm{\overrightarrow{BA}}\)를 시계방향으로 \(90^\circ\)(\(-90^\circ\))으로 회전한 벡터입니다. 왜냐하면 문제의 조건에서, \(\mathrm{\overline{AB}=\overline{BC}}\)이고, \(\angle{\mathrm{B}}=90^\circ\)이기 때문입니다. 따라서 벡터 \(\mathrm{\overrightarrow{BA}}\)를 \(-90^\circ\) 회전이동하면 $$\mathrm{\overrightarrow{BC}}=(-b, -(-a))=(-b,a)$$ 마찬가지로 문제의 조건에서, \(\mathrm{\overline{AE}=\overline{ED}}\)이고, \(\angle{\mathrm{E}}=90^\circ\) 이므로, \(\mathrm{\overrightarrow{ED}}\)는 \(\mathrm{\overrightarrow{EA}}\)를 반시계방향으로 \(90^\circ\)(\(+90^\circ\))으로 회전한 벡터입니다.따라서 $$\mathrm{\overrightarrow{EA}}=(-(-q), -p))=(q,-p)$$ 입니다. 이제 물음에 답하기 위해 필요한 모든 계산을 할 수 있습니다.
$$\begin{align}
\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE}}&=(a,b)\cdot(p,q)=(ap+bq)\\
-\mathrm{\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{ED}}&=-(-b,a)\cdot(q,-p)=-(-bq-ap)=ap+bq
\end{align}$$ 입니다. 따라서 $$\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{ED}}$$ (참)
ㄷ. 역시 간단한 계산만으로 참/거짓을 판단할 수 있습니다. $$\begin{align}
&\mathrm{|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{ED}}|\\
&=|(-b,a)+(q,-p)|\\
&=|(q-b, a-p)|\\
&=\sqrt{(q-b)^2+(a-p)^2}\\
&=\sqrt{a^2+b^2+p^2+q^2-2ap-2bq}
\end{align}$$ 입니다. 그리고, $$\begin{align}
&\mathrm{|\overrightarrow{BE}|}\\
&=\mathrm{|\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}|}\\
&=|(p,q)-(a,b)|\\
&=|(p-a, q-b)|\\
&=\sqrt{(p-a)^2+(q-b)^2}\\
&=\sqrt{a^2+b^2+p^2+q^2-2ap-2bq}
\end{align}$$
$$\therefore \mathrm{|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{ED}|=|\overrightarrow{BE}|}$$ (참)