2019학년도 6월 모의고사 29번은 역함수의 함정 Ⅱ, 함수와 역함수의 교점에서 언급한 성질을 아주 잘 보여주는 문제입니다. 이 글에서는 문제를 풀어보면서 함수와 역함수의 교점에 대한 성질을 어떻게 이용하는지 살펴보고 더 나아가 함수의 순환에 대해서도 간단히 언급해 보겠습니다.
①. 함수 \(f(x)\)가 증가함수이면, 함수 \(f(x)\)와 역함수 \(f^{-1}(x)\)의 모든 교점은 직선 \(y=x\)위에 존재한다.
②. 함수와 역함수의 교점이 \((a,b)\)이면, \((b,a)\)도 두 함수의 교점이다.
2019학년도 6월 모의고사 나형 29번
함수 $$f(x)=\begin{cases}
ax+b, & \text{$x\lt 1$}\\[2ex]
cx^2+\frac{5}{2}x, & \text{$x\geq 1$}
\end{cases}$$
이 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 갖는다. 함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 역함수 \(y=f^{-1}(x)\)의 그래프의 교점의 개수가 3이고, 그 교점의 \(x\)좌표가 각각 \(-1\), \(1\), \(2\)일 때, \(2a+4b-10c\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\), \(c\)는 상수이다.)
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풀이
\(y=f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 역함수를 갖기 위해서는 \(f(x)\)가 실수 전체에서 증가함수이거나 감소함수이어야 합니다. 먼저 \(f(x)\)가 증가함수라고 가정해 보겠습니다.
\(f(x)\)가 증가함수 일 때
함수와 역함수의 교점에 관한 성질①에 의해, \(f(x)\)가 증가함수라면 두 함수 \(f(x)\)와 \(f^{-1}(x)\)의 그래프의 모든 교점은 \(y=x\)위에 있어야 합니다. 세 교점의 \(x\)좌표가 \(-1\), \(1\), \(2\) 이므로 교점의 좌표는 $$(-1,\color{red}{-1}), (1, \color{red}{1}), (2, \color{red}{2})$$가 되어야 합니다.
세 교점의 좌표를 문제에서 주어진 함수 \(f(x)\)에 대입하면 다음과 같은 3개의 조건식을 얻을 수 있습니다. $$\begin{align}
&f(-1)=-1\Rightarrow -a+b=1\\
&f(1)=1\Rightarrow c+\frac{5}{2}=1\Rightarrow c=-\frac{3}{2}\\
&f(2)=2\Rightarrow 4c+5=2\Rightarrow c=-\frac{3}{4}\end{align}$$ 두번째 조건을 만족시키는 \(c\)는 \(-\dfrac{3}{2}\) 이고, 세번째 조건을 만족시키는 \(c\)는 \(-\dfrac{3}{4}\) 입니다. 따라서 세 조건을 동시에 만족하는 \(c\)를 찾는 것은 불가능합니다. 따라서 \(f(x)\)는 증가함수가 아닙니다. 이제 \(f(x)\)가 감소함수 인 경우를 생각해보겠습니다.
\(f(x)\)가 감소함수 일 때
이제 \(f(x)\)가 감소함수일 때, 두 함수 \(f(x)\)와 \(f^{-1}(x)\) 의 세 교점의 좌표를 $$(-1,p),(1,q), (2,r)$$이라고 두겠습니다. \(f(x)\)가 감소함수이므로, 세 점의 \(y\)좌표의 크기는 $$p>q>r$$이 되어야 합니다.
만약 $$(-1,p), (1,q), (2,r)$$이 함수와 역함수의 그래프가 만나는 교점의 좌표라면 함수와 역함수의 교점에 관한 성질②에 의해 $$(p,-1), (q,1), (r,2)$$도 두 함수의 그래프의 교점이 되어야 합니다.
그런데, 문제에서 교점의 개수는 3개라고 하였으므로 세 점의 좌표를 원소로 갖고 있는 두 집합 $$\{(-1,p), (1,q), (2,r)\}=\{(p,-1), (q,1), (r,2)\}$$은 서로 같아야 합니다. 즉 서로 다른 세 수 \(p\), \(q\), \(r\)의 값은 \(-1\), \(1\), \(2\) 중 어느 하나가 되어야 합니다. 즉 두 집합 \(\{p, q, r\}\)과 \(\{-1,1,2\}\)은 $$\{p,q,r\}=\{-1,1,2\}$$과 같이 서로 같아야 합니다.
한편, \(f(x)\)가 감소함수라는 가정에서, \(p>q>r\)이었습니다. 따라서 $$p=2,\ q=1,\ r=-1$$입니다. 따라서 세 교점의 좌표는 $$(-1,\color{red}{2}), (1, \color{red}{1}), (2, \color{red}{-1})$$입니다. 이 교점의 좌표를 함수 \(f(x)\)에 대입하면 $$\begin{align}
&f(-1)=2\Rightarrow -a+b=2 \tag{1}\label{eq1}\\
&f(1)=1\Rightarrow c+\frac{5}{2}=1\Rightarrow c=-\frac{3}{2}\\
&f(2)=-1\Rightarrow 4c+5=-1\Rightarrow c=-\frac{3}{2}\end{align}$$ \(f(x)\)가 증가함수 일 때와 다르게, \(f(x)\)가 감소함소라고 가정했을 때 얻은 \(c=-\dfrac{3}{2}\)은 모순을 발생시키지 않습니다. 이제 \(a\)와 \(b\)의 값을 구해 보겠습니다. 먼저 \(f(x)\)는 연속함수이므로 연속함수의 정의에 의해 $$\begin{align}&\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)\\
&\Rightarrow a+b=c+\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=1\tag{2}\label{eq2}\end{align}$$이어야 합니다. 이제 식\(\eqref{eq1}\)과 식\(\eqref{eq2}\)를 연립하면 $$\begin{cases}
-a+b=2 &\\
a+b=1 &\\
\end{cases}$$ 이고, 이 연립 방정식의 해는 $$a=-\frac{1}{2},\ b=\frac{3}{2}$$입니다. 따라서 $$\begin{align}
&2a+4b-10c\\
&=2\cdot(-\frac{1}{2})+4\cdot\frac{3}{2}-10\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)
\\&=20\end{align}$$
함수의 순환(또는 호환)
다음 그림은 실제 함수 \(f(x)\)와 역함수 \(g(x)=f^{-1}(x)\)의 그래프를 그린 것입니다. 두 교점 \((-1,2)\)와 \((2,-1)\)을 확인할 수 있습니다.
이 그래프에서 가장 주목해야 할 두 점은 함수와 역함수의 교점인 \((-1,2)\)와 \((2,-1)\)입니다. \(f(-1)=2\) 이고 \(f(2)=-1\)입니다. 이 함수관계를 이용하면 다음과 같이 순환이 되는 수열을 얻을 수 있습니다, $$\require{AMScd}
\begin{CD}
-1 @>f(-1)>> 2@>f(2)>>-1@>f(-1)>>2\ldots\\
\end{CD}$$ 이와 같이 함수값을 순환하는 수열로 나타낼 수 있는 것을 함수의 순환 (때로는 순환마디의 길이가 2일때를 호환이라고도 합니다.) 이라고 합니다. 이 개념은 방정식 $$f^n(x)=x, f^n(x)=\underbrace{f\circ f\circ \ldots\circ f}_{n\text{ times}}$$의 해를 구하거나 교란순열(완전순열)을 구할 때 아주 중요하게 사용되는 개념입니다. 함수의 순환은 2019학년도 수학 나형 30번에서 주개념으로도 사용되었습니다. 곧 이 문제와 교란순열을 다루어보면서 함수의 순환에 대해서 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.
p<q<r 이 아니라 부등호 방향이 반대 아닌가요
지적하신 내용이 맞습니다. 수정하였습니다~ 감사합니다. ^^
나형 29번 문제에 5/2x가 5x로 표기되어 있습니당
감사합니다. ^^ 지적하신 부분을 수정하였습니다 이 글에는 오타가 없을 것이라고 생각했는데 ㅠ.ㅠ 잘 읽어주시고 오타도 잡아주셔서 감사드립니다.
예비고1인데 역함수 문제가 이런식으로 활용되어서 나온다는 매우 어려우면서도 흥미롭네요 ㄷㄷ
이제 막 고등학생이 되시는 군요! 축하드립니다. 수학 문제를 풀고 개념을 연습하는 것은 때론 힘이 들기도 하지만 문제의 배경을 찾아본다면 정말로 흥미로운 주제들로 가득 차 있다는 것을 알게 되실 것입니다. ^^ 함수의 순환은 순열 조합에서 굉장히 큰 역할을 하는 개념입니다. 비록 교과서에는 그 개념이 명시되어 있지 않지만 순환 개념을 배경으로 하는 문제들이 종종 출제되곤 합니다. 준비해서 곧 올려볼겠습니다. 댓글 달아주셔서 감사합니다.
감소함수일 때 역함수와의 교점은 모두 y=-x위에 있지 않은가요? 그래서 pqr로 잡지 않고 바로 쓸 수 있지않나요?
안녕하세요~ 일빈적으로, 감소함수와 역함수의 교점은 모두 y=-x위에 있는 것은 아닙니다. 예를들어, 함수 y=1/x 는 감소함수이지만 그의 역함수 y=1/x 와 함수 y=1/x의 교점 중에서 직선 y=-x 위에 있는 점은 없습니다.
혹시 두번째 질문(pqr로 집지 않고)에 대해서 조금 더 자세한 설명을 부탁드려도 될까요? 감사합니다 ^^
아 저는 이 문제에 대해서 감소함수일경우 함수를 너무 특수하게 생각해서 잘못이해했네요 좋은 정보 감사합니다~
두번째 질문은 감소함수일때 역함수와 교점 중 가운데 점은 y=x위에 있으니 1,1 을 지나고 나머지 점은 감소함수니까 큰 수인 2가 -1의 y좌표가 되고 -1이 2의 y좌표가 된다고 생각해서 한 말입니당
글 잘 읽었습니다.
혹시 역함수에 대해 이렇게 이해하면 될까요?
다항함수의 경우 항상 증가 혹은 감소인 경우에만 역함수 존재.
함수와 그 역함수는 y=x 대칭.
다만 f(x)와 그 역함수의 교점이 항상 y=x위에 있는 것은 아님.
(i) 교점이 y=x 위에 존재 (증가인 경우)
(ii) 교점이 y=-x+c 위에 존재 (감소인 경우)
로 나눠지고,
위 글의 문제 같은 경우 구간별로 정의된 함수로서
ii 경우를 응용한 문제로 봐도 될까요?
네 그렇습니다. 잘 정리해 주셨네요. 감사합니다. 댓글에서 언급하신 “감소인 경우 y=-x+c 위에 존재”라고 하신 부분에 조금 더 제 의견을 덧붙이자면 먼저 본문의 내용처럼 (a,b)가 함수와 역함수의 교점이면, (b,a)도 함수와 역함수의 교점이므로 a≠b 일 때 두 점 (a,b)와 (b,a)을 연결한 선분의 기울기는 (b-a)/(a-b)=-1 입니다. 다만 감소함수에서 함수와 역함수의 교점을 지나는 직선 y=-x+c 를 정할 때, y=1/x의 경우처럼 c가 정확히 한 개로 결정되지는 않는 경우도 있다는 것과 정의역 {1,2,3,4}에서 공역 {1,2,3,4}에서 정의된 함수 {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}처럼 감소함수가 아닌 경우에도 (a,b)와 (b,a)가 모두 함수와 역함수의 교점이 될 수 있고 두 점을 연결한 직선의 기울기는 -1이다라는 분분을 더 확인해주시면 될 것 같습니다.
역함수의 개념에 대해 설명하신 글과 이 글 둘 다 정말 도움 되었습니다 모르고 있었던 걸 잘 알게 됐네요
도움이 되었다고 말씀해 주셔서 큰 보람을 느낍니다. ^^ 감사합니다. 역함수와 합성함수는 매우 중요한 개념이지만, 그 중요도 만큼 다루어지지 못하는 느낌이 있습니다. 중간에 종종 게을러지곤 하는데 저도 더 힘내서 글을 올려보도록 하겠습니다!
수능 2주전에 가장 헷갈리던 역함수 개념 완벽하게 잡고갑니당…
수학 다 맞고 올게요 감사합니닷
와~ 정말 반가운 소식입니다. 남은 기간 잘 마무리 하시고 좋은 소식 기다리겠습니다. 올 한해 정말 고생 많으셨습니다. 파이팅입니다!
부등호 방향에 오타가있는것같ㅌ아요! pqr 값 구하신 바로 윗줄에 “f(x)가 감소함수는 가정에서 p<q<r …” 이 아니라 반대아닌가용??
안녕하세요, 답변이 늦었습니다. 말씀하신 부분이 맞습니다. 부등호 방향도 오타가 있었고, 문맥에 맞지 않는 표현도 있었네요. 모두 수정하였습니다. 알려주셔서 감사합니다! ^^
마지막 식 연립이 이상해요. 검산 부탁드립니다 a b c 값이 잘못 나온 것 같아요
안녕하세요~ 지적해주신 부분이 맞습니다. a와 b의 값이 잘못 표시되어 있었습니다.ㅠ 수정하였습니다. 정말 감사드립니다!
문제 처음 보고 y=x 에 딱딱 넣어서 푸는데 이상해서 멘붕오고,
답지 풀이엔 뜬금없이 감소함수든 증가함수든 1,1에서 교점이다 이래서 이해 못했는데 이거 보고 이해했습니다
감사합니다