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$$\mathrm{\frac{AP}{PB}\cdot\frac{QC}{BQ}\cdot\frac{RA}{CR}}=1$$

이 글에서는 정리의 증명없이 오로지 메넬라우스의 정리를 사용하는 법과 평면 벡터와 같은 문제에서 메넬라우스 정리를 어떻게 사용할 수 있을지에 대해서만 초점을 맞추어 보겠습니다.

메넬라우스의 정리의 사용법

메넬라우스 정리를 쓰려고 할 때 어려움이 생기는 가장 큰 이유는 동일한 도형에서 메넬라우스 정리를 이용해 만들 수 있는 식의 개수가 여러 개 이기 때문입니다. 단순히 점의 이름과 순서만을 외워서는 능숙하게 사용하기 어렵습니다.

[방법1]. “여우 얼굴”을 이용하는 방법

이 방법은 문제에서 주어진 도형의 모양이 “여우 얼굴”이라고 부르는 특정한 모양일 때 사용할 수 있습니다. 이 방법은 많은 문제에서 사용되는 것으로, 실제로 메넬라우스의 정리를 이용하여 삼각형의 내분점이나 벡터 문제를 풀 때 이 방법을 사용할 가능성이 아주 높습니다.

여기서 여우 얼굴이란 다음과 같이 생긴 도형을 뜻합니다.

메넬라우스의 정리를 “여우 얼굴”에 사용하기 위해서는 먼저 여우의 입에 해당하는 꼭짓점에서 출발하여 미리 정해진 순서대로 다른 점들을 한번씩 방문하고 원래 출발했던 점으로 다시 돌아오는 경로를 생각해야 합니다. 이 때 어떤 점에서 다른 점으로 이동하는 것을 “점프”라고 부르겠습니다. 메넬라우스의 정리를 사용할 때 점프를 하는 방법은 바로 인접한 점으로 이동하는 “짧은 점프”와 인접한 점을 건너 뛰고 그 다음 점으로 이동하는 “긴 점프”가 있습니다.

메넬라우스의 정리를 사용하기 위해 점들을 방문하는 방법은 매우 단순합니다. 여우의 입에서 이동을 처음 시작할 때 “긴 점프”를 한 번 하고, 다시 출발했던 점으로 돌아올 때 까지 “짧은 점프” 만 계속 반복하면 됩니다.

예를 들어 다음에 나오는 여우 얼굴에서, 여우의 입은 점 \(\mathrm{A}\)입니다. \(\mathrm{A}\)와 연결된 점은 점 \(\mathrm{B}\)와 점 \(\mathrm{C}\) 두 개이므로, 점 \(\mathrm{A}\)에서 출발해서 다시 점 \(\mathrm{A}\)로 돌아오는 경로의 수는 두 개입니다. 두 경로 모두 모두 첫 점프가 다른 점을 건너 뛰는 “긴 점프”라는 것을 꼭 기억해 주세요!

이제 각 경로에서 홀수 번째 점프를 분모로, 짝수 번째 점프를 분자로 하는 세 개의 분수를 만들어 곱해 주면 됩니다. 즉 두 방법 모두 $$\frac{②}{①}\cdot\frac{④}{③}\cdot\frac{⑥}{⑤}=1$$ 와 같은 식을 만들어 줍니다. 첫 번째 경로에서 홀수 번째 점프는 $$\begin{align}
&①:\mathrm{AP}\\
&③:\mathrm{BQ}\\
&⑤:\mathrm{CR}
\end{align}$$이고, 짝수 번째 점프는 $$\begin{align}
&②:\mathrm{PB}\\
&④:\mathrm{QC}\\
&⑥:\mathrm{RA}
\end{align}$$ 이므로, 홀수 번째 점프를 분모로, 짝수 번째 점프를 분자로 하는 세 개의 분수를 만들어 메넬라우스의 정리로 바꾸어주면 $$\mathrm{\frac{PB}{AP}\cdot\frac{QC}{BQ}\cdot\frac{RA}{CR}=1}$$입니다. 마찬가지 방법으로 두 번째 경로에서 홀수 번째 점프는 $$\begin{align}
&①:\mathrm{AC}\\
&③:\mathrm{QP}\\
&⑤:\mathrm{PB}
\end{align}$$이고, 짝수 번째 점프는 $$\begin{align}
&②:\mathrm{CR}\\
&④:\mathrm{RQ}\\
&⑥:\mathrm{BA}
\end{align}$$이므로, 이 경로를 메넬라우스의 정리로 바꾸어주면  $$\mathrm{\frac{CR}{AC}\cdot\frac{RQ}{QP}\cdot\frac{BA}{PB}=1}$$를 얻을 수 있습니다.

그렇다면 문제를 풀 때에는 두 경로중 어떤 경로를 골라서 메넬라우스의 정리로 바꾸어 주어야 할까요? 이것은 문제의 조건에 따라 달라집니다. 예를 들어, \(\mathrm{BQ:QC}\)가 필요한 경우에는 첫번째 경로를 선택해야 하고, \(\mathrm{RQ:QP}\)가 필요한 경우에는 두번째 경로를 선택해야 합니다. 따라서 메넬라우스의 정리를 사용할 때에는 문제의 조건을 잘 읽고 조건에 맞는 경로를 선택해야 합니다.

[방법2]. 점열을 이용하는 방법

[방법1] 이외에도, \(\triangle{\mathrm{ABC}}\)의 세 꼭짓점과 직선 \(l\)이 삼각형의 세 변 또는 연장선과 만나는 세 점을 교대로 나열하고, 이 점열을 분수로 바꾸는 방법도 있습니다. 이 방법을 사용하면 직선 \(l\)이 \(\triangle{\mathrm{ABC}}\)의  세 선분 또는 연장선과 만나기만 하면 사용할 수 있기 때문에 “여우 얼굴”을 찾지 않아도 되고, 식의 활용범위도 “여우 얼굴” 보다 넓어지게 됩니다. 예를 들어 다음 처럼 직선 \(l\)이 모두 세 선분의 연장선에서 만나는 경우에서도 [방법2]를 사용하여 모두 \(6\)개의 확장된 식을 만들 수 있습니다.

$$\begin{align}
\mathrm{\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CR}{RA}}=1\\
\mathrm{\frac{AR}{RC}\cdot\frac{CQ}{QB}\cdot\frac{BP}{PA}}=1\\
\ldots\\
\mathrm{\frac{CQ}{QB}\cdot\frac{BP}{PA}\cdot\frac{AR}{RC}}=1
\end{align}$$

메넬라우스의 정리에 사용할 수 있는 세 분수를 만들기 위해서 필요한 점열은 다음과 같이 만들 수 있습니다.

• [STEP 1] 점의 이름 확인하기

점열을 만들기 위해 가장 먼저 해야 하는 일은 삼각형의 세 선분 (또는 연장선)과 직선 \(l\)이 만나는 세 점의 이름을 확인하는 것입니다. 예를 들어, 다음 그림에서 직선 \(l\)과 세 선분 \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CA}\) 또는 연장선이 만나는 점의 이름은 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\) 입니다.

• [STEP 2] 삼각형의 꼭짓점과 교점을 번갈아 나열하기

다음으로, 삼각형의 어느 한 꼭짓점을 정하고 이 꼭짓점에서 시작하여 다시 이 점으로 다시 돌아올 때까지 삼각형의 선분을 따라 반시계 방향 또는 시계 방향으로 돌면서 직선 \(l\)과 만나는 교점과 꼭짓점을 번갈아 써 줍니다. 예를 들어, 점 \(A\)에서  $$\mathrm{A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A}$$의 순서로 삼각형의 꼭짓점을 방문하기로 한다면, 직선 \(l\)과 선분 \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CA}\) 또는 연장선이 만나는 점의 이름은 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\) 이므로 다음과 같은 점열을 만들 수 있습니다. $$\require{AMScd}
\begin{CD}
\mathrm{A} @>\mathrm{\color{red}{P}}>> \mathrm{B}@>\mathrm{\color{red}{Q}}>>\mathrm{C}@>\mathrm{\color{red}{R}}>>\mathrm{A}
\end{CD}$$

• [STEP 3] 분수 만들기

다음으로, 이 점열에서 메넬라우스 정리에 사용할 분수 세 개를 만들어 줍니다. 한 개의 분수를 만들때에는 선분의 양끝점과 선분(또는 연장선)이 직선 \(l\)과 만나는 교점을 확인하고, 다음과 같이 선분의 시작점과 직선 \(l\)과의 교점을 연결한 선분을 분자로,  이 교점과 선분의 끝점을 연결한 선분을 분모로 만들어 줍니다.  $$\mathrm{\frac{\text{선분의 시작점-교점}}{\text{교점-선분의 끝점}}}$$예를 들어, 선분 \(\mathrm{AB}\) 또는 그 연장선이 직선 \(l\)과 만나는 점은 \(\mathrm{P}\)이므로  $$\begin{align}
\text{선분의 시작점}=\mathrm{A}\\
\text{ 교점}=\mathrm{P}\\
\text{ 선분의 끝점}=\mathrm{B}
\end{align}$$입니다.  $$\require{AMScd}
\begin{CD}
\mathrm{A} @>\mathrm{\color{red}{P}}>>\mathrm{B}\Rightarrow \mathrm{\frac{A\color{red}{P}}{\color{red}{P}B}}\end{CD}$$ 입니다.  따라서 $$\require{AMScd}
\begin{CD}
\mathrm{A} @>\mathrm{\color{red}{P}}>> \mathrm{B}@>\mathrm{\color{red}{Q}}>>\mathrm{C}@>\mathrm{\color{red}{R}}>>\mathrm{A}
\end{CD}$$에서는 $$\require{AMScd}
\begin{CD}
\mathrm{A} @>\mathrm{\color{red}{P}}>>\mathrm{B}\Rightarrow \mathrm{\frac{A\color{red}{P}}{\color{red}{P}B}}\\
\end{CD}$$ $$\require{AMScd}
\begin{CD}
\mathrm{B} @>\mathrm{\color{red}{Q}}>>\mathrm{C}\Rightarrow \mathrm{\frac{B\color{red}{Q}}{\color{red}{Q}C}}\\
\end{CD}$$ $$\require{AMScd}
\begin{CD}
\mathrm{C} @>\mathrm{\color{red}{R}}>>\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{\frac{C\color{red}{R}}{\color{red}{R}A}}\\
\end{CD}$$ 이제 이 세 개의 분수를 모두 곱하는 것으로 메넬라우스의 정리를 사용할 수 있습니다. $$\require{AMScd}
\begin{CD}
\mathrm{A} @>\mathrm{\color{red}{P}}>> \mathrm{B}@>\mathrm{\color{red}{Q}}>>\mathrm{C}@>\mathrm{\color{red}{R}}>>\mathrm{A}
\end{CD}$$$$\Rightarrow\mathrm{\frac{A\color{red}{P}}{\color{red}{P}B}\cdot\frac{B\color{red}{Q}}{\color{red}{Q}C}\cdot\frac{C\color{red}{R}}{\color{red}{R}A}=1}$$ 만약 다른 순서로 점열을 만든다면,  그 순서에 맞추어 분수식도 바꾸어 주어야 합니다. $$\require{AMScd}
\begin{CD}
\mathrm{A} @>\mathrm{\color{red}{R}}>> \mathrm{C}@>\mathrm{\color{red}{Q}}>>\mathrm{B}@>\mathrm{\color{red}{P}}>>\mathrm{A}
\end{CD}$$$$\Rightarrow\mathrm{\frac{A\color{red}{R}}{\color{red}{R}C}\cdot\frac{C\color{red}{Q}}{\color{red}{Q}B}\cdot\frac{B\color{red}{P}}{\color{red}{P}A}=1}$$$$\require{AMScd}
\begin{CD}
\mathrm{B} @>\mathrm{\color{red}{Q}}>> \mathrm{C}@>\mathrm{\color{red}{R}}>>\mathrm{A}@>\mathrm{\color{red}{P}}>>\mathrm{B}
\end{CD}$$ $$\Rightarrow\mathrm{\frac{B\color{red}{Q}}{\color{red}{Q}C}\cdot\frac{C\color{red}{R}}{\color{red}{R}A}\cdot\frac{A\color{red}{P}}{\color{red}{P}B}=1}$$

예제

자, 이제 메넬라우스의 정리를 사용하는 법을 알아 보았으니, 메넬라우스의 정리를 이용해 풀 수 있는 문제를 살펴보겠습니다. 첫번째 문제는 전형적인 삼각형의 내분비를 구하는 문제로, [가중 무게 중심을 이용한 교점의 위치 벡터 문제 해법]에서 사용한 문제입니다.

문제1

\(\triangle{\mathrm{ABC}}\)의 변 \(\mathrm{AB}\)를 \(1:2\)로 내분하는 점 \(\mathrm{D}\)와 변 \(\mathrm{AC}\)를 \(3:4\)로 내분하는 점 \(\mathrm{E}\)가있다. \(\mathrm{BE}\)와 \(\mathrm{CD}\)의 교점을 \(\mathrm{P}\)라 하고, 직선 \(\mathrm{AP}\)와 \(\mathrm{BC}\)의 교점을 \(\mathrm{Q}\)라 하자.

1. \(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\)를 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)와 \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)를 사용하여 나타내시오.
2. \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)를 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)와 \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)를 사용하여 나타내시오.

풀이

먼저 메넬라우스의 정리를 사용할 수 있는 “여우 얼굴”을 찾아보겠습니다. 문제에서 변 \(\mathrm{AB}\)와 변 \(\mathrm{AC}\)에 대한 정보를 주었으므로, 이 두개의 변을 이용해 여우의 얼굴을 찾아봅니다.

“여우 얼굴”이 뒤집혀져 있네요. 이제 “여우 얼굴”을 찾았으니, 메넬라우스의 정리를 적용해 볼 차례입니다. 먼저 여우 입에 해당하는 점은 \(\mathrm{A}\)입니다. 이제 \(\mathrm{A}\)를 시작으로 하는 두 경로를 생각하고, 알맞은 경로를 선택해야 합니다. 이 문제의 답을 구하기 위해서는 어떤 경로든 상관이 없기 때문에 \(\mathrm{A\rightarrow B}\) 경로를 이용해 보겠습니다. (만약 \(\mathrm{B\rightarrow A}\) 경로를 이용해서 풀 때에는 이 글의 풀이와 어떤 부분이 달라지는지 직접 확인해 보시면 좋겠습니다.)

이 경로를 메넬라우스의 정리로 바꾸어주면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다. $$\begin{align}
&\mathrm{\frac{BD}{AB}\cdot\frac{PC}{DP}\cdot\frac{EA}{CE}=1}\\
&\Leftrightarrow \mathrm{\frac{2}{3}\cdot\frac{PC}{DP}\cdot\frac{3}{4}=1}\\
\end{align}$$ $$\therefore \mathrm{\frac{PC}{DP}=\frac{2}{1}}$$ 이므로 $$\mathrm{PC:DP}=2:1$$입니다. 두번째 물음에 답하기 위해서는 \(\mathrm{BQ:QC}\)를 알아내야 하므로, 점 \({\mathrm{B}}\)를 여우의 입으로 두고 메넬라우스의 정리를 한번 더 사용해 줍니다. 이 때, \(\mathrm{BQ:QC}\)를 찾기 위해서는 \(\mathrm{B\rightarrow A}\)로 시작하는 경로를 선택해야 하는 것을 주목해주세요.

$$\begin{align}
&\mathrm{\frac{AD}{BA}\cdot\frac{PC}{DP}\cdot\frac{QB}{CQ}=1}\\
&\Leftrightarrow \mathrm{\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{QB}{CQ}=1}\\
\end{align}$$ $$\therefore \mathrm{\frac{QB}{CQ}=\frac{3}{2}}$$ $$\mathrm{QB:CQ}=3:2$$ 입니다.

이제 필요한 선분의 비를 모두 구했으니 문제의 물음에 모두 답할 수 있습니다. 먼저 \(\triangle{\mathrm{ABC}}\)에서 \(\mathrm{BQ:QC=3:2}\) 이므로 $$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{2}{5}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{3}{5}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$ 그리고 \(\triangle{\mathrm{ADC}}\)에서 \(\mathrm{DP:PC=1:2}\)이므로 $$\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{AQ}}&=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\\
&=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\\
&=\frac{2}{9}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\end{align}$$

문제2. (2006, 와카야마)

\(a_1=2\)인 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 생각하자. \(\triangle{\mathrm{ABC}}\)의 선분 \(\mathrm{BC}\)를  \(a_n:a_n-1\)로 외분하는 점을 \(\mathrm{P_n}\), 선분 \(\mathrm{AP_n}\)의 중점을 \(\mathrm{Q_n}\), 선분 \(\mathrm{AC}\)와 선분 \(\mathrm{BQ_n}\)의 교점 \(\mathrm{R_n}\)이라 할 때, $$a_{n+1}=\mathrm{\frac{BQ_n}{BR_n}}$$이 성립한다. 다음 물음에 답하시오.

1. \(\overrightarrow{\mathrm{AQ_n}}\)을 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\), \(a_n\)을 사용하여 나타내시오.
2. 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.

풀이

먼저, 외분점의 벡터 공식을 사용하면, $$\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{AQ_n}}&=\frac{a_n}{a_n-(a_n-1)}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{a_n-1}{a_n-(a_n-1)}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\\
&=-(a_n-1)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+a_n\overrightarrow{\mathrm{AC}}\end{align}$$ 입니다. 점 \(\mathrm{Q_n}\)은 선분 \(\mathrm{AP_n}\)의 중점이므로 $$\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{AQ_n}}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AP_n}}\\
&=\frac{-1}{2}(a_n-1)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}a_n\overrightarrow{\mathrm{AC}}\end{align}$$ 입니다. 이제 두번째 물음을 생각해 보겠습니다.

문제의 조건에서 $$a_{n+1}=\mathrm{\frac{BQ_n}{BR_n}}$$ 이고 $$\begin{align}
&\mathrm{P_nC:CB}=a_n-1:1\\
&\mathrm{P_nQ_n:Q_nA}=1:1
\end{align}$$ 이므로, 점 \(\mathrm{P_n}\)을 여우 입으로 사용하는 “여우 얼굴”을 찾아줍니다. 이 얼굴에서 만들 수 있는 경로는 다음 두 가지입니다. $$\begin{align}
\mathrm{P_n\rightarrow B}\ldots\\
\mathrm{P_n\rightarrow A}\ldots
\end{align}$$

메넬라우스 정리에서 \(\mathrm{BQ_n}\)과 \(\mathrm{BR_n}\)을 사용하려면 두 번째 경로를 메넬라우스의 정리로 바꾸어 주어야 합니다. 이 때, $$a_{n+1}=\mathrm{\frac{BQ_n}{BR_n}}\Leftrightarrow \mathrm{BQ_n:BR_n}=a_{n+1}:1$$ 이므로 $$\mathrm{Q_nR_n:R_nB}=a_{n+1}-1:1$$ 입니다. 이제 이 경로를 메넬라우스의 정리로 바꾸어 주면 다음과 같습니다.  $$\begin{align}
&\mathrm{\frac{P_nA}{AQ_n}\cdot\frac{Q_nR_n}{R_nB}\cdot\frac{BC}{CP_n}=1}\\
&\Leftrightarrow \mathrm{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{a_{n+1}-1}\cdot\frac{a_n-1}{1}=1\\
\end{align}$$입니다. 이 식을 정리하면 $$(a_{n+1}-1)=\frac{1}{2}(a_n-1)$$을 얻을 수 있습니다. 따라서 수열 \(\{a_n-1\}\)은 공비가 \(\dfrac{1}{2}\)이고, 첫 항이 \(a_1-1\)인 등비수열입니다. 따라서 $$\begin{align}&a_n-1=(a_1-1)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\\
&=(2-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\\
&=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
\end{align}$$ $$\therefore a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+1$$

더 하고 싶은 이야기들

[문제2]의 풀이에서 점화식 $$(a_{n+1}-1)=\frac{1}{2}(a_n-1)$$을 \(a_{n+1}\)에 관해 정리하면 $$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}$$을 얻을 수 있습니다. 고등학교 과정에서는 이 점화식의 풀이만을 다루고 있지만 사실, 이 점화식은 선형 비제차 점화식이라는 이름을 가진 점화식으로, 아주 흥미로운 이론적 배경을 갖고 있는 점화식입니다. 다른 글에서 곧! 다루어 보도록 하겠습니다.

[문제2]에서 \(n\)이 한없이 커짐에 따라, \(\mathrm{AR_n:R_nC}\)이 어떻게 변할까요?