가중 무게 중심을 이용하면 점의 위치 벡터 문제를 아주 쉽게 풀 수 있을 때가 있습니다. 또한 메넬라우스의 정리나 체바의 정리를 사용해야 하는 풀이를 가중 무게 중심으로 대신 할 수도 있습니다. 이 글에서는 가중 문제 중심을 이용하여 위치 벡터 문제를 어떻게 풀 수 있는지 문제를 통해 살펴보겠습니다.
교점의 위치벡터
[문제]
\(\triangle{ABC}\)에서 \(\overline{AB}\)를 \(1:2\)로 내분하는 점 \(D\)와 \(\overline{AC}\)를 \(3:4\)로 내분하는 점 \(E\)를 표시하자. \(\overline{BE}\)와 \(\overline{CD}\)의 교점을 \(P\)라 하고, 직선 \(AP\)와 \(\overline{BC}\)의 교점을 \(Q\)라 하자.
- \(\overrightarrow{AQ}\)를 \(\overrightarrow{AB}\)와 \(\overrightarrow{AC}\)를 사용하여 나타내시오.
- \(\overrightarrow{AP}\)를 \(\overrightarrow{AB}\)와 \(\overrightarrow{AC}\)를 사용하여 나타내시오.
[풀이]
이 문제는 교점의 위치벡터를 구하는 전형적인 문제입니다. 고전적인 방법으로 문제를 풀기 위해서는 먼저$$\overline{BP}:\overline{PE}=t:1-t$$$$\overline{CP}:\overline{PD}=s:1-s$$라 두고 연립방정식을 세워 \(s\)와 \(t\)를 구하는 다소 복잡한 계산 과정을 거쳐야 합니다. 하지만 가중 무게 중심을 이용하면 이러한 종류의 문제는 아주 쉽게 풀 수 있습니다. 먼저 \(\overline{AB}\)와 \(\overline{AC}\)가 어떤 비율로 내분이 되는지에 착안하여 \(\triangle{ABC}\)의 각 꼭짓점 \(A,B,C\)에 달린 무게를 찾아봅니다.
점\(D\)는 \(\overline{AB}\)를 \(1:2\)로 내분\(\rightarrow\) 점\(A\)와 점\(B\)의 무게는 각각 \(2\)와 \(1\)
점\(E\)는 \(\overline{AC}\)를 \(3:4\)로 내분\(\rightarrow\) 점\(A\)와 점\(C\)의 무게는 각각 \(4\)와 \(3\)
이렇게 선분 양끝의 무게를 판단하고 나면 문제가 하나 생겨버립니다. \(\overline{AB}\)에서 점 \(A\)의 무게는 2가 되고 \(\overline{AC}\)에서는 \(B\)의 무게가 4가 되어 점\(A\)의 무게를 가 일정하지 않게 됩니다. 이럴 때에는 \(\overline{AB}\)에 매달린 추의 무게를 모두 2배씩 해주면 점\(A\)의 무게를 어떤 선분에서 생각하더라도 4로 맞추어줄 수 있습니다. 따라서 각 점의 무게를 확인하면, $$A : 4, B : 2, C : 3$$ 이 됩니다.
이제 모든 점의 무게를 확인했기 때문에 각 선분의 무게 중심의 위치를 구하는 것은 아주 쉽습니다. 먼저 점 \(Q\)는 \(\overline{BC}\)의 가중 무게 중심이고,$$\overline{BQ}:\overline{QC}=3:2$$가 됩니다. 따라서, $$\overrightarrow{AQ}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$$ 가 됩니다.
또한 삼각형의 세 선분 \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline {CA}\)의 가중 무게 중심인 점 \(D, Q, E\)의 무게는
점\(D\) : \(4+2=6\)
점\(Q\) : \(2+3=5\)
점\(E\) : \(3+4=7\)
이므로 \(\overline{AP}:\overline{PQ}=5:4\)가 됩니다.
따라서 $$\overrightarrow{AP}=\frac{5}{5+4}\overrightarrow{AQ}=\frac{2}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$입니다.
체바의 정리, 메넬라우스의 정리 VS 가중 무게 중심
체바의 정리나 메넬라우스 정리는 삼각형 내부의 한점 \(P\)와 삼각형 세 꼭짓점을 연결한 세 직선을 생각하고, 이 세 직선으로 인해 삼각형의 세 변이 어떠한 비율로 내분이 되는지에 대해서 다루고 있는 정리입니다. 이 글에서 다룬 문제는 메넬라우스의 정리를 이용해 풀 수도 있는데요, 풀이 과정의 단순함은 가중 무게 중심이 제일 간단합니다. 체바의 정리와 메넬라우스의 정리에 대해서는 다른 글에서 자세히 다뤄 보도록 하겠습니다.
질문이 있어서 댓글 달아봅니다. 혹시 평행사변형은 가중무게중심으로 해결이 안 되나요?
답변이 조금 늦었습니다. 질문에 답을 하자면 평행사변형에서 무게중심을 이용하는 것이 가능합니다. 또한
평행사변형 뿐만 아니라 일반적인 사각형에서 가중무게 중심을 이용하여 넓이비등을 구할 수 있습니다.
a(PA)+b(PB)+c(PC)+d(PD)=0 일 때.
(1) 선분 BC를 c:b로 내분하는 점을 E로 합니다.
(2) 선분 DE를 b+c:d로 내분하는 점을 F라 합니다.
(3) 선분 AF를 b+c+d:a로내분하는 점이 가중무게중심 P가 됩니다.
볼록n각형은 성립할 것 같고, 일반적인 n각형에 대해서도.. 가능할까요?
오목 다각형 해concave polygon) 에 대해서도 성립합니다. 오목사각형의 경우입니다. 가중 무게에 따라 가중 무게 중심은 다각형 바깥쪽에도 있을 수 있습니다.
문제에서 점 Q유대한테 설명이 해설과 다른것 같습니다. 한번 확인해주셨으면 합니다
“점 Q유대한테” 라는 부분이 혹시 어떤 부분을 말씀하시는지 몰라 정확한 답변을 드리지 못하는 점 양해 바라겠습니다. 글을 다시 확인해보니, 그림에서 점 A의 무게를 4로 표시해놓고 본문에는 5로 적어둔 부분이 있었습니다. 이 부분 수정하였습니다. 지적해주셔서 감사합니다. 혹시 다른 부분에도 문제가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다. ^^
[문제]에서 ‘직선 OP와 선분 AB의 교점을 Q라 하자’가 아니라 ‘직선 AP와 선분 BC의 교점을 Q라 하자’ 라고 바꿔주셔야 될 것 같습니다. 좋은 포스팅 올려주셔서 늘 감사합니다.
말씀하신 부분이 맞습니다. 바로 수정하였습니다. 꼼꼼히 읽어주시고 알려주셔서 정말 감사합니다!
메넬라우스 정리나 체바의 정리글은 언제 올리시나요?
앗! 펑크를 내고 제 마음속에만 있었던 글 중 하나입니다. ㅠ.ㅠ 최대한 빨리 정리해서 올리도록 하겠습니다. 혹시 글에서 특별히 강조되었으면 하는 부분이 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.