이차곡선 문제를 풀 때 사용할 수 있는 핵심 전략은 다음과 같습니다.
● 타원의 정의를 이용할 수 있는 보조선 그리기
● 동일한 구조의 식에서 방정식 추론하기 (주어진 식을 보고 사용할 식을 결정)
● 근과 계수의 관계
● 중점 연결 정리(타원, 쌍곡선)
이 글에서는 다음 문제의 풀이를 통해서 이러한 핵심 전략을 문제에서 어떻게 사용할 수 있는지 알아보겠습니다.
2013학년도 6월 모의고사 가형 27번
두점 \(\mathrm F(5,0)\), \(\mathrm F'(-5,0)\)을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 \(\mathrm P\), \(\mathrm Q\)에 대하여 원점 \(\mathrm O\)에서 선분 \(\mathrm{PF}\)와 선분 \(\mathrm{QF’}\)에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm H\)와 \(\mathrm I\)라 하자. 점 \(\mathrm H\)와 \(\mathrm I\)가 각각 선분 \(\mathrm{PF}\)와 선분 \(\mathrm{QF’}\)의 중점이고, \(\mathrm{\overline{OH}\times\overline{OI}=10}\)일 때, 이 타원의 장축의 길이를 \(l\)이라 하자. \(l^2\)의 값을 구하시오. (단, \(\mathrm{\overline{OH}\neq\overline{OI}}\))
문제 풀이
문제 풀이의 얼개
이 문제는 다음과 같은 순서로 문제를 풀 수 있습니다.
● STEP 0 : 보조선 그리기
● STEP 1 : 직각삼각형 찾기
● STEP 2 : \(\mathrm{\overline{OH}}\)와 \(l\)이 포함된 관계식 찾기
● STEP 3 : \(\mathrm{\overline{OI}}\)와 \(l\)이 포함된 관계식 찾기
● STEP 4 : 이차방정식 만들기
● STEP 5 : 근과 계수의 관계를 이용해 \(l\)의 값 구하기
STEP 0 : 보조선 그리기
타원 문제에서 가장 중요한 선은 무엇일까요? 바로 타원 위의 한 점과 두 초점을 연결하는 선분입니다. 이 선이 가장 중요한 이유는 이 선분이 바로 타원의 정의와 관련된 선분이기 때문입니다. 타원은 평면 위의 두 정점 \(\mathrm{F}\), \(\mathrm{F’}\)로 부터 거리의 합이 일정(=장축)한 점 전체의 집합입니다. 이 문제에서 장축의 길이(=\(l\))이므로 문제에서 제시한 타원 위의 임의의 한 점 \(\mathrm{P}\)로부터 두 초점까지 연결한 두 선분의 길이의 합은 언제나 $$\mathrm{\overline{F’P}+\overline{FP}}=\text{장축}=l\tag{1}\label{eq1}$$입니다. 따라서 \(\mathrm{\overline{PF’}}\)와 \(\mathrm{\overline{QF}}\)를 연결해주어서 앞으로의 풀이에서 식\(\eqref{eq1}\)을 사용할 수 있도록 해줍니다.
STEP 1 : 직각삼각형 찾기
보조선 \(\mathrm{\overline{PF’}}\)을 그린 후, 다음으로 가장 먼저 주목해야 할 사실은 점 \(\mathrm{H}\)와 점 \(\mathrm{I}\)가 각각 \(\mathrm{\overline{F’Q}}\)와 \(\mathrm{\overline{PF}}\)의 중점이라는 것입니다. 또한 문제에서 주어진 타원의 중심인 원점은 \(\mathrm{\overline{F’F}}\) 의 중점입니다. 따라서 \(\mathrm{\triangle{FF’P}}\)에서$$\mathrm{\overline{FO}:\overline{OF’}=\overline{FH}:\overline{HP}}=1:1$$입니다. 그러므로 중점 연결 정리에 의해서 \(\mathrm{\overline{PF’}\parallel\overline{OH}}\) 입니다. 평행선이 만드는 두 동위각의 크기는 같아야 하므로$$\mathrm{\angle{F’PF}=\angle{OHF}=90°}$$입니다. 따라서 \(\mathrm{\triangle{F’PF}}\) 는 직각삼각형이며, 이것은 피타고라스의 정리를 사용해서 문제를 풀기 위한 관계식을 만들수 있다는 뜻이 됩니다.
\(\mathrm{\overline{OH}}\)와 \(l\)이 포함된 관계식 찾기
이제 피타고라스의 정리를 이용하여 문제를 풀기 위한 관계식을 만들어보겠습니다. 먼저 수식을 간단히 정리하기 위해서 \(\mathrm{\overline{OH}}=t\) 라 두겠습니다. 점 \(\mathrm{F’}\) 의 좌표가 \((-5,0)\), 점 \(\mathrm{F}\)의 좌표가 \((5,0)\) 이므로 직각삼각형 \(\mathrm{\triangle{F’PF}}\)에서 빗변 \(\mathrm{\overline{F’F}}\) 의 길이는 \(5-(-5)=10\) 입니다. 중점 연결 정리에 의해 $$\mathrm{\overline{PF’}:\overline{OH}=2:1}$$$$\therefore \mathrm{\overline{PF’}=2\times\overline{OH}}$$ 이고 타원의 정의에서, $$\mathrm{\overline{PF}+\overline{PF’}=\text{장축}}=l$$ 이므로$$\begin{align}\mathrm{\overline{PF}}&=l-\mathrm{\overline{PF’}}\\&=l-\mathrm{2\overline{OH}}\\&=l-2t\end{align}$$입니다. 이제 피타고라스의 정리를 사용하면, $$\begin{align}&\mathrm{\overline{F’F}^2=\overline{F’P}^2+\overline{PF}^2}\\&\Rightarrow 10^2=(2t)^2+(l-2t)^2\tag{2}\label{eq2}\end{align}$$입니다.
STEP 3 : \(\mathrm{\overline{OI}}\)와 \(l\)이 포함된 관계식 찾기
[STEP 2]와 마찬가지로 중점 연결 정리를 이용하면 \(\mathrm{\triangle{F’QF}}\) 는 직각삼각형이고 $$\mathrm{\overline{QF}:\overline{OI}=2:1}$$ 이 됩니다. 따라서 \(\mathrm{\overline{OI}}=s\)라 두고, 직각삼각형 \(\mathrm{\triangle{F’QF}}\)에 피타고라스의 정리를 사용하면 식 \(\eqref{eq2}\)와 구조가 동일한 식을 얻을 수 있습니다. $$\begin{align}&\mathrm{\overline{F’F}^2=\overline{F’Q}^2+\overline{QF}^2}\\&\Rightarrow 10^2=(2s)^2+(l-2s)^2\tag{3}\label{eq3}\end{align}$$
STEP 4 : 이차방정식 만들기
이제 [STEP 3,4]에서 얻은 관계식 \(\eqref{eq2}\)과 \(\eqref{eq3}\)을 나란히 써보겠습니다. $$\begin{align}10^2&=(2t)^2+(l-2t)^2\\
10^2&=(2s)^2+(l-2s)^2
\end{align}$$ 두 식의 구조가 완전히 같은 것을 알 수 있습니다. 따라서 방정식 $$10^2=(2x)^2+(l-2x)^2$$를 생각하면, \(t\)와 \(s\)는 이 방정식의 두 해라고 생각할 수 있습니다. 이 방정식을 정리하면 $$8x^2-4lx+l^2-100=0\tag{4}\label{eq4}$$이 됩니다.
STEP 5: 근과 계수의 관계를 사용하여 \(l\) 구하기
방정식 \(\eqref{eq4}\)에 근과 계수의 관계를 적용하면, $$\begin{align}t+s&=\mathrm{\overline{OH}+\overline{OI}}=4l\\
s\cdot t&=\mathrm{\overline{OH}\cdot\overline{OI}}=\frac{l^2-100}{8}\end{align}$$ 그런데 문제에서 주어진 조건에 의하면 \(\mathrm{\overline{OH}\cdot\overline{OI}}=10\) 이므로 $$\mathrm{\overline{OH}\cdot\overline{OI}}=\frac{l^2-100}{8}=10$$ 입니다. 따라서 $$l^2=180$$입니다.