소소하지만 확실한 테크닉 - 조건부 확률 문장 바꾸기

조건부 확률 문제에서 임의로 선택한 1명이 A를 만족할 때, B를 만족할 확률은

A를 만족하는 사람들 중 B를 만족하는 사람이 차지하는 비율

이라는 문장으로 바꾸면 조건부 확률을 쉽게 구할 수 있습니다. 이 글에서는 이렇게 문제를 바꾸는 것이 가능한 이유와 이 것을 이용해서 조건부 확률을 구하는 법을 소개합니다.

문장 바꾸기

먼저 이 테크닉의 원리를 설명하기 앞서 실제 문제를 몇 개 살펴 보겠습니다.

[문제1] (2017학년도 9월 모의고사 13번)

풀이

이 문제에서는 조사에 참여한 학생 중에서 임의로 선택한 1명이 남학생일 때, 이 학생이 과목 B를 선택한 학생일 확률을 요구하고 있습니다. 따라서 이 글의 테크닉을 적용하면 남학생들 중에서 과목 B를 선택한 사람이 몇명인지를 세어 그 비율을 구해주기만 하면 그것이 바로 문제에서 요구하는 확률이 됩니다.

문제에서 남학생의 수는 모두 10명입니다. 10명의 남학생 중에서 과목B를 선택한 사람은 모두 7명이므로 문제에서 요구하는 확률은$$\frac{7}{10}$$이 됩니다.

[문제2](2018학년도 9월 모의고사 나형 10번

풀이

이 문제에서는 14개의 공 중에서 임의로 선택한 한 개의 공이 검은색일 때, 이 공에 적혀 있는 수가 짝수일 확률을 요구하고 있습니다. 이 문제도 마찬가지로 문제의 문장을 검은색 공 중에서 짝수가 적혀 있는 공이 몇 개인지 개수를 세어 그 비율을 구해주기만 하면 그것이 바로 문제에서 요구하는 확률이 됩니다.

문제에서 검은색 공은 모두 9개가 있습니다. 9개의 검은 색 공 중에서 짝수가 적혀 있는 공은 모두 4개 이므로 문제에서 요구하는 확률은 $$\frac{4}{9}$$가 됩니다.

$n(A\cap B)$ 의 의미

이런 문장 바꾸기가 가능한 이유는 무엇일까요? 표본 공간의 이름을 $S$ 라고 하고, $n(A)$ 를 집합 A의 원소를 나타내는 기호로 약속하겠습니다. 확률의 정의에 따라, 모든 근원사건이 일어날 가능성이 같다면 표본공간의 부분집합 사건 $A$ 가 일어날 확률은 $$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$$ 로 나타낼 수 있습니다. 따라서 조건부 확률 $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{n(A\cap B}{n(S)}}{\frac{n(A)}{n(S}}=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}$$가 됩니다.

여기서 가장 주목해야 할 부분은 $n(A\cap B)$ 입니다. 이 것은 사건 A와 사건 B를 동시에 만족시키는 것의 개수를 뜻합니다. 사건 A와 사건 B를 동시에 만족시키는 것을 찾는 방법 중 하나는

사건 A를 만족하는 것을 먼저 찾고, 그 것들 중에서 사건 B를 만족하는 것

의 개수를 세어주는 것입니다.

그리고 $n(A)$ 는 사건 A를 만족하는 것의 개수를 나타내므로 $$\frac{n(A\cap B)}{n(A)}$$

사건 A를 만족하는 것들 중에서 사건 B를 만족하는 것의 개수를,
사건 A를 만족하는 것의 개수로 나눈 값이 됩니다.