역삼각함수 arcsin(x), arccos(x), arctan(x)의 적분

\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,

$$\begin{align}\int \sin^{-1}xdx&= x\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \cos^{-1}xdx&=x\cos^{-1}x-\sqrt{1-x^2}+C\\
\int \tan^{-1}xdx&=x\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C
\end{align}$$

입니다. 이 글에서는 역함수 치환적분의 원리를 설명하고, 이를 이용해서 역삼각함수의 적분을 증명해 보겠습니다.

역함수 치환적분의 원리

역함수 치환적분은 아주 우아하고 흥미로운 기법입니다. 역함수 치환적분의 원리는 매우 단순합니다.  \(f(x)\)의 역함수를 $$f^{-1}(x)=g(x)$$라고 두고, $$\int f(x)dx$$를 구할 때 $$x=g(y)$$로 치환을 해버리는 것입니다. 이렇게 치환을 하면 아주 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다. $$f(x)=f(g(y))=f(f^{-1}(y))=y\\dx=g'(y)dy$$가 되어 $$\int f(x)dx=\int y\cdot g'(y)dy$$ 로 바뀌게 됩니다. $$\int y\cdot g'(y)dy$$에서 적분해야 하는 함수 \(y\cdot g'(y)\)는 \(y\) 와 \(g'(y)\) 의 곱으로 되어 있으므로 부분적분법이나 테이블 적분법을 이용하여 적분을 구해줍니다. 이제 이 원리를 사용하여 역삼각함수의 적분을 구해보겠습니다.

\(\arcsin x=\sin^{-1}x\) 의 적분

\(\sin^{-1}x\)의 역함수는 \(\sin x\) 입니다. 따라서 $$x=\sin y\ (\iff y=\sin^{-1} x),\ -1\leq x\leq 1$$로 치환하면, $$dx=\cos ydy$$이므로 $$\begin{align}&\int\sin^{-1}(x)dx\\&=\int \sin^{-1}\left(\sin y\right)\cdot \cos ydy\\
&=\int y\cdot\cos ydy\end{align}$$ 입니다. 이 적분은 부분적분법 또는 테이블 적분법을 사용하여 구할수 있는데, 여기서는 테이블 적분법을 사용하여 구해보겠습니다. $$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
y&&\cos y \\
&\searrow{+}&\\
1&&\sin y\\
&\searrow{-}&\\
0&&-\cos y\\
\end{array}$$입니다. 따라서$$\begin{align}&\int y\cdot\cos ydy\\&=+(y\cdot \sin y)-(1\cdot(-\cos y))+C\\
&=y\cdot\sin y+\cos y +C\\
&=\sin^{-1}x\cdot x+\sqrt{1-\sin^2y}+C\\
&=\bbox[5px,border:2px solid red]{x\cdot\sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C}\\
\end{align}$$

\(\arccos x=\cos^{-1}x\) 의 적분

마찬가지로, $$x=\cos y\ (\iff y=\cos^{-1} x),\ -1\leq x\leq 1$$로 치환하면, $$dx=-\sin ydy$$이므로$$\begin{align}&\int\cos^{-1}(x)dx\\&=\int \cos^{-1}\left(\cos y\right)\cdot (-\sin y)dy\\
&=-\int y\cdot\sin ydy\end{align}$$ 입니다. 테이블 적분법을 사용하면 $$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
y&&\sin y \\
&\searrow{+}&\\
1&&-\cos y\\
&\searrow{-}&\\
0&&-\sin y\\
\end{array}$$입니다. 따라서$$\begin{align}&-\int y\cdot\sin ydy\\&=-\left\{+(y\cdot(-\cos y))-(1\cdot(-\sin y))+C_1\right\}\\
&=y\cdot\cos y-\sin y +C\ (C=-C_1)\\
&=\cos^{-1}x\cdot x-\sqrt{1-\cos^2y}+C\\
&=\bbox[5px,border:2px solid red]{x\cdot\cos^{-1} x – \sqrt{1-x^2} + C}\\
\end{align}$$

\(\arctan x=\tan^{-1}x\) 의 적분

$$x=\tan y\ (\iff y=\tan^{-1} x),\ x\in \Bbb{R}$$로 치환하면, $$dx=\sec^2 ydy$$이므로$$\begin{align}&\int\tan^{-1}(x)dx\\&=\int \tan^{-1}\left(\tan y\right)\cdot \sec^2 ydy\\
&=\int y\cdot\sec^2 ydy\end{align}$$ 입니다. 테이블 적분법을 사용하면 $$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
y&&\sec^2 y \\
&\searrow{+}&\\
1&&\tan y\\
&\searrow{-}&\\
0&&-\ln|\cos y|\\
\end{array}$$입니다. 따라서$$\begin{align}&\int y\cdot\sec^2 ydy\\&=+(y\cdot\tan y)-(1\cdot(-\ln|\cos y|))+C\\
&=y\cdot\tan y+\ln|\cos y| +C\\
&=\tan^{-1}x\cdot x+\ln\left(\frac{1}{|\sec y|}\right)+C\\
&=x\cdot\tan^{-1}x+\ln\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 y}}\right)+C\\
&=x\cdot\tan^{-1}x+\ln\left((1+\tan^2 y)^{-\frac{1}{2}}\right)+C\\
&=\bbox[5px,border:2px solid red]{x\cdot\tan^{-1} x -\frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)+C}\\
\end{align}$$

 

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손민규
4 years ago

아크사인을 적분할때 y의 범위에 따라서 값이 달라지는지 궁금합니다. 혹은 범위를 추가해야 되지 않을까요??

너구리
2 years ago

선생님 arcsecx의 부정적분은 어떻게 구할 수 있을까요?

강석순
1 year ago
Reply to  너구리

arcsesx의 부정적분은
xarcsecx+In(x+(x^2-1)^1/2)입니다.

강명석
9 months ago

고맙습니다 선생님
많은 도움이 되었습니다