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\(t=\tan\frac{x}{2}\) 로 치환하면 \(\sin x\) 와 \(\cos x\) 를 \(t\) 로 표현할 수 있습니다.

$$\begin{equation}\begin{aligned}\sin x&=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos x&=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{aligned}\end{equation}$$

이 결과는 삼각함수의 치환적분에 유용하게 사용할 수 있습니다. 이 글에서는 이 변형의 증명과 응용을 설명합니다.

Weierstrass 치환

\(-\pi<x<\pi\) 일 때, $$t=\tan\frac{x}{2}$$와 같이 치환하는 것을 Weierstrass 치환 또는 탄젠트 반각 치환이라고 합니다. 이 치환을 사용하면  $$\begin{equation}\begin{aligned}\sin x&=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos x&=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\\frac{dx}{dt}&=\frac{2}{1+t^2}\end{aligned}\end{equation}$$와 같은 결과를 얻을 수 있으며 이 결과는 삼각함수의 치환적분에 사용이 됩니다.

증명

먼저 \(\sin x\) 를 Weierstrass 치환을 이용해 변형해 보겠습니다. 여러 증명 방법 중에서 제가 가장 좋아하는 방법입니다. 기본적인 증명의 얼개는 \(x=2\cdot\frac{x}{2}\) 로 바꾸고, \(\sin\) 함수의 2배각 공식을 사용하는 것입니다. 이 방법에서 가장 멋진 부분은 증명 도중에 얻어진 식을 \(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\) 로 나누는 것입니다. \(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}=1\) 이므로 나눈 후에도 식의 값은 변하지 않습니다.

$$\begin{equation}\begin{aligned}\sin x&=\sin\left(2\cdot\frac{x}{2}\right)=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\\&=\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}}\\
&=\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\div\cos^2\frac{x}{2} }{\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right)\div\cos^2\frac{x}{2}}\\
&=\frac{2\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}}{\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}+1}=\frac{2\tan\frac{x}{2}}{\tan^2\frac{x}{2}+1}=\frac{2t}{1+t^2}
\end{aligned}\end{equation}$$

다음으로 \(\cos x\) 를 변형하겠습니다. \(\sin x\) 때와 마찬가지로 \(x=2\cdot\frac{x}{2}\) 로 바꾸고,  \(\cos x\) 의 2배각 공식을 사용합니다. 또한 증명 도중에 $$\sec^2\frac{x}{2}=1+\tan^2\frac{x}{2}$$를 사용합니다.

$$\begin{equation}\begin{aligned}
\cos x&=\cos\left(2\cdot\frac{x}{2}\right)=2\cos^2\frac{x}{2}-1\\
&=\frac{2}{\sec^2\frac{x}{2}}-1=\frac{2}{1+\tan^2\frac{x}{2}}-1\\
&=\frac{2}{1+t^2}-1=\frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{aligned}\end{equation}$$

마지막으로 \(\frac{dx}{dt}\) 를 증명하겠습니다.

$$\begin{equation}\begin{aligned}t=\tan\frac{x}{2}&\implies dt=\sec^2\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{2}dx\\&\implies \frac{dx}{dt}=\frac{2}{\sec^2\frac{x}{2}}=\frac{2}{1+\tan^2\frac{x}{2}}=\frac{2}{1+t^2}\end{aligned}\end{equation}$$

적분에 응용하기

이 치환의 대표적인 응용은 \(\sec x, \csc x\) 의 적분(클릭)입니다. 먼저, $$\require{cancel}\begin{equation}\begin{aligned}\int \sec x dx&=\int \frac{1}{\cos x} dx=\int \frac{\cancel{1+t^2}}{1-t^2}\frac{2}{\cancel{1+t^2}}dt\\&=\int\frac{2}{1-t^2}dt\\&=\int\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)dt\\
&=-\ln|1-t|+\ln|1+t|+C\\&=\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\
&=\ln\left|\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right|+C
\end{aligned}\end{equation}$$

그리고, $$\begin{equation}\begin{aligned}\int \csc x dx&=\int \frac{1}{\sin x} dx=\int \frac{\cancel{1+t^2}}{\cancel{2}t}\frac{\cancel{2}}{\cancel{1+t^2}}dt\\&=\int \frac{1}{t}dt=\ln|t|+C\\&=\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C
\end{aligned}\end{equation}$$