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삼각형의 세 변의 길이를 \(a,b,c\)라고 하면, 세 변의 길이 관계에서 만들어지는 삼각부등식의 완전형은 다음과 같습니다.

$$|b-c|<a<b+c$$

삼각부등식의 완전형

삼각형의 세 변의 길이를 \(a,b,c\)라고 할 때, 삼각형이 존재하기 위한 조건인 삼각형부등식의 완전형은 원래 다음과 같습니다. $$\begin{align}
a+b&>c\tag{1}\label{eq1}\\
b+c&>a\tag{2}\label{eq2}\\
c+a&>b\tag{3}\label{eq3}
\end{align}$$ 이 부등식은 좀 더 간결한 형태로 나타낼 수 있습나다. $$|b-c|<a<b+c$$ 이렇게 삼각부등식의 완전형을 간결하게 나타내면 3개의 부등식을 사용하는 것보다 문제 풀이에서 훨씬 쓸모있게 사용할 수 있습니다.

증명

부등식 \(\eqref{eq1}\)에서 $$a+b>c\Leftrightarrow a>c-b$$이고,  부등식 \(\eqref{eq3}\)에서 $$c+a>b\Leftrightarrow a>b-c$$입니다. 즉, $$a>c-b\ 이고,\ a>b-c$$이므로 $$a>|b-c|$$라 할 수 있습니다. 이 부등식과 부등식 \(\eqref{eq2}\)을 연립하면 $$|b-c|<a<b+c\tag{4}\label{eq4}$$를 얻을 수 있습니다.

이 부등식은 \(a, b, c\)의 크기와 관계 없이 항상 성립하는 식이기 때문에  이 부등식을 사용할 때, 반드시 크기 순서대로 \(a,b,c\)를 정해 주어야 하는 것은 아닙니다. 문제에 조건에 따라 적당히 \(a,b,c\)의 값을 정해 줄 수 있습니다.

활용

문제1

세 변의 길이가 $$x+1, x+5, 9-x$$인 삼각형이 있다. \(x\)의 범위를 구하시오.

풀이

문제를 풀기 전, 일단 주어진 세 개의 식 \(x+1, x+5, 9-x\)가 삼각형의 세변을 나타내기 위해서는 $$\begin{cases}
x+1>0\\
x+5>0\\
9-x>0
\end{cases}$$이어야 합니다. 이 세 개의 부등식을 모두 만족하는 \(x\)의 범위는 $$-1<x<9\tag{5}\label{eq5}$$입니다.

이제 삼각부등식을 적용해서 \(x\)의 범위를 구해야 합니다. 이러한 문제를 풀때 가장 긴 변이 무엇인지에 따라 경우를 나누어 풀 수도 있지만 삼각부등식의 완전형을 사용하면 어떤 변이 가장 긴 변인지 생각할 필요가 없습니다. 문제를 풀기 위해 해주어야 하는 일은 \(a, b, c\)를 정하고 삼각부등식의 완전형에 대입하는 것 뿐입니다. 만약 $$b=x+5, c=x+1$$로 정하면 $$b-c=4$$로 그 결과가 상수가 되어 \(|b-c|\)의 절댓값을 계산하는 것이 무척 편해집니다. 따라서 $$a=9-x, b=x+1, c=x+5$$로 하여 삼각 부등식의 완전형 $$|b-c|<a<b+c$$에 대입하겠습니다. $$\begin{align}&|(x+5)-(x+1)|<9-x<(x+5)+(x+1)\\
&\Leftrightarrow|4|<9-x<2x+6\\
&\Leftrightarrow 4<9-x<2x+6\\
&\Leftrightarrow 4<9-x\ 이고\ 9-x<2x+6\\
&\Leftrightarrow x<5\ 이고\ 3<3x\\
&\Leftrightarrow 1<x<5\end{align}$$ 이 결과와 부등식 \(\eqref{eq5}\)(\(-1<x<9\))를 동시에 만족하는 \(x\)의 범위는 $$1<x<5$$

문제2

좌표평면 위에 두 점 \(\mathrm{A}(0,1)\) \(\mathrm{B}(3,2)\)가 있다. 점\(\mathrm{P}\)가 \(x\)축 위를 움직일 때, $$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}$$의 최솟값을 구하시오.

풀이

아주 유명한 문제입니다. 먼저 점 \(\mathrm{A}\)를 \(x\)축에 대해 대칭 이동한 점 \(\mathrm{A^\prime}(0,-1)\)를 생각합니다. \(\mathrm{AA^\prime}\)과 \(x\)축의 교점은 원점 \(\mathrm{O}\)입니다.

먼저 점 \(\mathrm{P}\)가 원점에 있을 때, $$\mathrm{PA}=\mathrm{PA^\prime}=1$$입니다. \(\mathrm{P}\)가 원점에 있지 않을 때에는$$\triangle\mathrm{PAO}\equiv\triangle\mathrm{PA^\prime O}$$ 이므로 \(\mathrm{PA}=\mathrm{PA^\prime}\)입니다. 따라서 점 \(\mathrm{P}\)의 위치와 관계없이 언제나  \(\mathrm{PA}=\mathrm{PA^\prime}\)가 되어 $$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=\mathrm{PA^\prime}+\mathrm{PB}$$이므로\(\mathrm{PA}+\mathrm{PB}\)의 최솟값 대신\(\mathrm{PA^\prime}+\mathrm{PB}\)의 최솟값을 구해도 됩니다. 또한 이 때 두 점 \(\mathrm{A^\prime}\)과 \(\mathrm{B}\)의 위치는 변하지 않으므로 두 점사이의 거리 $$\mathrm{A^\prime B}=\sqrt{(3-0)^2+(2-(-1))^2}=3\sqrt{2}$$도 항상 일정합니다. 이제 \(\mathrm{PA^\prime}+\mathrm{PB}\)의 최솟값을 구해 보겠습니다.

먼저 세 점 \(\mathrm{P},\mathrm{A^\prime}, \mathrm{B}\)가 한 직선위에 있을 때 점 \(\mathrm{P}\)는 선분 \(\mathrm{A^\prime B}\)의 내분점이므로$$\mathrm{PA^\prime}+\mathrm{PB}=\mathrm{A^\prime B}=3\sqrt{2}\tag{7}\label{eq7}$$입니다.

그렇다면 세 점 \(\mathrm{P},\mathrm{A^\prime}, \mathrm{B}\)가 한 직선위에 있지 않은 경우는 어떨까요? 세 점이 한 직선위에 있지 않으므로 \(\triangle\mathrm{PA^\prime B}\)를 만들 수 있습니다. $$b=\mathrm{PA^\prime}, c=\mathrm{PB}, a=\mathrm{A^\prime B}$$로 두고 삼각부등식의 완전형 $$|b-c|<a<b+c$$에 대입하면 $$\begin{align}&|\mathrm{PA^\prime}-\mathrm{PB}|<\mathrm{A^\prime B}<\mathrm{PA^\prime}+\mathrm{PB}\\
&\Rightarrow |\mathrm{PA^\prime}-\mathrm{PB}|<3\sqrt{2}<\mathrm{PA}+\mathrm{PB}\tag{8}\label{eq8}\end{align}$$ 입니다. \(\eqref{eq7}\)과 \(\eqref{eq8}\)에 의해 $$\mathrm{PA^\prime}+\mathrm{PB}\geq 3\sqrt{2}$$입니다. (등호는 세 점 \(\mathrm{P},\mathrm{A^\prime}, \mathrm{B}\)가 한 직선위에 있을 때 성립) 따라서 \(\mathrm{PA^\prime}+\mathrm{PB}\)의 최솟값은 $$3\sqrt{2}$$

문제3

[문제2]의 조건에서 \(|\mathrm{PA}-\mathrm{PB}|\)의 최댓값을 구하시오.

풀이

이미 \(|\mathrm{PA}-\mathrm{PB}|\) 의 모양을 보니 꼭 삼각부등식을 사용해야 한다는 생각이 듭니다. [문제2]와 마찬가지로 세 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{A}, \mathrm{B}\)가 한 직선위에 있을 때와 그렇지 않을때로 나누어 풀어보겠습니다. 이 때에도 두 점 \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{B}\)의 위치는 고정되어 있으므로 두 점사이의 거리$$\mathrm{AB}=\sqrt{(3-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{10}$$으로 항상 일정합니다.

먼저 세 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{A}, \mathrm{B}\)가 모두 한 직선위에 있을 때 점 \(\mathrm{P}\)는 선분 \(\mathrm{AB}\)의 외분점이므로 $$|\mathrm{PA}-\mathrm{PB}|=\mathrm{AB}=\sqrt{10}\tag{9}\label{eq9}$$입니다.

다음으로, 세 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{A}, \mathrm{B}\) 이 한 직선위에 있지 않을 때, \(\triangle\mathrm{PAB}\)를 만들수 있으므로$$\mathrm{PA}=b, \mathrm{PB}=c, \mathrm{AB}=a$$로 하여 삼각부등식의 완전형 $$|b-c|<a<b+c$$에 대입하면 $$\begin{align}
&|\mathrm{PA}-\mathrm{PB}|<\mathrm{AB}<\mathrm{PA}+\mathrm{PB}\\
&\Rightarrow |\mathrm{PA}-\mathrm{PB}|<\sqrt{10}<\mathrm{PA}+\mathrm{PB}\tag{10}\label{eq10}
\end{align}$$\(\eqref{eq9}\)과 \(\eqref{eq10}\)에 의해 $$|\mathrm{PA}-\mathrm{PB}|\leq \sqrt{10}$$입니다. (등호는 세 점 \(\mathrm{P},\mathrm{A}, \mathrm{B}\)가 한 직선위에 있을 때 성립) 따라서 \(|\mathrm{PA}-\mathrm{PB}|\)의 최댓값은 $$\sqrt{10}$$

이제 삼각부등식의 완전형을 사용하여 다음 문제를 직접 풀어보시는 것은 어떨까요?

문제4

좌표평면위에 두 점 \(\mathrm{A}(1,2)\), \(\mathrm{B}(3,2)\)이 있다. 점\(\mathrm{P}\)가 직선 \(y=-x\)를 움직일 때, \(|\mathrm{PA}-\mathrm{PB}|\)의 최댓값을 구하시오.