삼각함수 sec(x), csc(x) 의 3가지 적분 방법

이 글에서는 \(\sec x \)와 \(\csc x\)의 3가지 적분 방법을 설명합니다. 세 방법 모두 다음 적분을 기본으로 사용하고 있습니다.

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)| + C$$

첫 번째 방법

\(\int\sec xdx\)

$$\begin{align}\sec x&=\sec x \times \frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}\\&=\frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}\\
&=\frac{\sec^2 x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}\tag{1}\label{eq1}\end{align}$$입니다. 그런데$$(\sec x+\tan x)’=\sec x \tan x + \sec^2x\tag{2}\label{eq2}$$이므로 \(\eqref{eq2}\)를 \(\eqref{eq1}\)에 대입하면 $$\frac{\sec^2 x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}=\frac{(\sec x+\tan x)’}{\sec x+\tan x}$$가 됩니다. 따라서,$$\begin{align}&\int\sec xdx\\&=\int \frac{(\sec x+\tan x)’}{\sec x+\tan x}dx\\&=\ln\left|\sec x + \tan x\right|+C\end{align}$$

\(\int\csc xdx\)

\(\sec x\)의 적분과 마찬가지로, $$\begin{align}\csc x&=\csc x \times \frac{\csc x+\cot x}{\csc x+\cot x}\\&=\frac{\csc x(\csc x+\cot x)}{\csc x+\cot x}\\
&=\frac{\csc^2 x+\csc x\cot x}{\csc x+\cot x}\end{align}\tag{3}\label{eq3}$$입니다. 그런데$$(\csc x+\cot x)’=-(\csc x \cot x + \csc^2x)\tag{4}\label{eq4}$$이므로 \(\eqref{eq4}\)를 \(\eqref{eq3}\)에 대입하면 $$\frac{\csc^2 x+\csc x\cot x}{\csc x+\cot x}=-\frac{(\csc x+\cot x)’}{\csc x+\cot x}$$가 됩니다. 따라서,$$\begin{align}&\int\csc xdx\\&=\int -\frac{(\csc x+\cot x)’}{\csc x+\cot x}dx\\&=-\ln\left|\csc x + \cot x\right|+C\end{align}$$

두 번째 방법

\(\int\sec xdx\)

$$\begin{align}\sec x&=\frac{1}{\cos x}=\frac{\cos x}{\cos^2x}\\&=\frac{\cos x}{1-\sin^2x}\\&=\frac{\cos x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\end{align}$$입니다. 이 결과를 부분분수로 분해하면$$\begin{align}&\frac{\cos x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos x}{1-\sin x}+\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)\tag{5}\label{eq5}\end{align}$$가 됩니다. 한편, $$\begin{align}&(1-\sin x)’=-\cos x\\&(1+\sin x)’=\cos x\end{align}$$이므로 식\(\eqref{eq5}\)는 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있습니다. $$\begin{align}&\frac{1}{2}\left(\frac{\cos x}{1-\sin x}+\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{-(1-\sin x)’}{1-\sin x}+\frac{(1+\sin x)’}{1+\sin x}\right)\end{align}$$ 따라서, $$\begin{align}&\int \sec x dx\\
&=\int \frac{1}{\cos x}dx\\
&=\int \frac{1}{2}\left(\frac{\cos x}{1-\sin x}+\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)dx\\
&=\int \frac{1}{2}\left(\frac{-(1-\sin x)’}{1-\sin x}+\frac{(1+\sin x)’}{1+\sin x}\right)dx\\
&=\frac{1}{2}(-\ln|1-\sin x|+\ln|1+\sin x|)\\
&=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|\\
&=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)\end{align}$$

\(\int\csc xdx\)

\(\csc x\) 의 적분도 \(\sec x\)의 적분과 거의 같은 방법을 사용합니다. $$\begin{align}\csc x&=\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x}{\sin^2x}\\&=\frac{\sin x}{1-\cos^2x}\\&=\frac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\end{align}$$ 입니다. 이 결과를 부분분수로 분해하면$$\begin{align}&\frac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)\tag{6}\label{eq6}\end{align}$$가 됩니다. 한편, $$\begin{align}&(1-\cos x)’=\sin x\\&(1+\cos x)’=-\sin x\end{align}$$이므로, 식\(\eqref{eq6}\) 은 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있습니다. $$\begin{align}&\frac{1}{2}\left(\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{(1-\cos x)’}{1-\cos x}+\frac{-(1+\cos x)’}{1+\cos x}\right)\end{align}$$ 따라서, $$\begin{align}&\int \csc x dx\\
&=\int \frac{1}{\sin x}dx\\
&=\int \frac{1}{2}\left(\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)dx\\
&=\int \frac{1}{2}\left(\frac{(1-\cos x)’}{1-\cos x}+\frac{-(1+\cos x)’}{1+\cos x}\right)dx\\
&=\frac{1}{2}(\ln|1-\cos x|-\ln|1+\cos x|)\\
&=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|\\
&=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)\end{align}$$

세 번째 방법

Weierstrass 치환 (또는 탄젠트 반각 치환)을 사용할 수도 있습니다.  $$\begin{equation}\begin{aligned}\int \sec xdx&=\ln\left|\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right|+C\\\int \csc x dx&=\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C\end{aligned}\end{equation}$$가 됩니다.

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dfsdfasfjsahajkfhdkj
2 years ago

thank you

ㅂㄹㅈㄷㅈㅂㄹ
2 years ago

두번 째 방법 오류 있는 것 같습니다. 확인 부탁드립니다.

ㅁㄴㅇㄹㄹ
8 months ago

부분 분수 식(5)번이 오류 맞나요?

ㅅㄱㅁ
27 days ago

미적분 공부하는 고딩입니다 진짜 도움 많이 되었습니다 특히 3번째 방법 쩌네요.. 원리도 알고 싶지만.. 문제 풀이를 위한 암기에서 그치게 되는데 아쉽네요..