이차함수 \(y=ax^2+bx+c\) 의 두 접점 \((\alpha, f(\alpha)\), \((\beta, f(\beta))\) 에서 그은 두 접선이 만나는 점의 좌표는 $$\left(\frac{\alpha+\beta}{2}, a\alpha\beta+b\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+c\right)$$ 이다. 특히 이 교점의 x좌표는 a와 관계없이 두 접점을 연결한 선분의 중점이 갖는 x좌표와 같다.
Level: 초급
이차함수의 그래프와 두 직선으로 둘러싸인 넓이의 고속 적분 – 1/3 공식
포물선과 직선으로 둘러 싸인 부분의 넓이를 빠르게 구할 수 있는 고속 적분 공식을 설명합니다.
포물선인 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접할 때, 포물선과 접선, 직선 x=β 로 둘러 싸인 부분의 넓이는 $$\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 예를 들어, \(\alpha<\beta\)일 때, 구하려는 부분의 넓이는$$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|(ax^2+bx+c-(mx+n))\right|dx\\&=\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3\end{align}$$입니다.
소소하지만 확실한 테크닉 – 정적분의 위끝과 아래끝 변환
수열의 합과 마찬가지로 정적분에서도 위끝과 아래끝을 변환하는 방법이 있습니다.
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a-p}^{b-p}f(x+p)dx$$
이 테크닉 역시 위 끝과 아래 끝이 복잡한 정적분을 간단히 계산하는데 사용할 수 있습니다. 이 글에서는 이 테크닉의 원리와 활용을 설명합니다.
소소하지만 확실한 테크닉 – 조건부 확률 문장 바꾸기
조건부 확률 문제에서 임의로 선택한 1명이 A를 만족할 때, B를 만족할 확률은
A를 만족하는 사람들 중 B를 만족하는 사람이 차지하는 비율
이라는 문장으로 바꾸면 조건부 확률을 쉽게 구할 수 있습니다. 이 글에서는 이렇게 문제를 바꾸는 것이 가능한 이유와 이 것을 이용해서 조건부 확률을 구하는 법을 소개합니다.
평균값 정리의 물리적 해석과 그 의미
평균값 정리와 그 해석은 관련 문제가 종종 출제될 정도로 아주 중요한 정리입니다. 평균값 정리의 의미를 설명하는 표준적인 방법은 함수의 그래프와 기울기를 사용하는 것입니다. 하지만 평균값 정리를 물체의 운동과 관련 지어 생각하면 그래프를 전혀 사용하지 않고 간단한 논리만으로 평균값 정리의 의미를 직관적으로 이해할 수 있습니다. 이 글에서는 평균값 정리의 물리적인 해석과 그 의미를 설명합니다.
명제 부정의 기술 – 대전제의 부정
어떤 명제를 부정하는 것은 대우법이나 귀류법을 이용한 증명이나, 여사건을 이용한 경우의 수나 확률을 다루기 위해 반드시 익혀두어야 하는 기술입니다. 명제를 부정할 때에는 명제를 구성하고 있는 단어들 중 반드시 바꾸어야 하는 부분이 있는 반면, 그렇지 않은 부분도 있습니다. 이 글에서는 명제를 부정할 때 대전제가 어떠한 영향을 받는지, 대전제를 어떻게 찾을 수 있는지에 대해 살펴보겠습니다. (more…)
중복 순열의 함정
중복 순열의 계산은 어려운 것이 아니지만, 중복 순열을 사용해 경우의 수를 세다 보면 \(n\)과 \(r\)을 어떻게 정해야 하는지, \(a^b\)과 \(b^a\) 중 어떤 것이 올바른 것인지 종종 헷갈릴 때가 있습니다. 이 글에서는 중복 순열을 사용할 때 헷갈릴 수 있는 부분과 그 이유를 살펴보고 중복 순열을 바르게 사용하는 방법에 대해 이야기해 보겠습니다.