어떤 명제를 부정하는 것은 대우법이나 귀류법을 이용한 증명이나, 여사건을 이용한 경우의 수나 확률을 다루기 위해 반드시 익혀두어야 하는 기술입니다. 명제를 부정할 때에는 명제를 구성하고 있는 단어들 중 반드시 바꾸어야 하는 부분이 있는 반면, 그렇지 않은 부분도 있습니다. 이 글에서는 명제를 부정할 때 대전제가 어떠한 영향을 받는지, 대전제를 어떻게 찾을 수 있는지에 대해 살펴보겠습니다.
명제를 부정할 때 대전제는 바뀌지 않는다.
명제를 올바르게 부정하기 위한 기술은 여러 종류의 것이 있습니다. 일반적으로 명제를 부정할 때 ‘그렇다’나 ‘아니다’와 같은 서술어는 ‘아니다’와 ‘그렇다’로 바뀌고, ‘모든’과 ‘어떤’이란 양을 나타내는 말(양화자, 量化子, quantifier)은 ‘어떤’과 ‘모든’으로 바뀌게 됩니다. 하지만 서술어나 양화자와는 달리 명제에서 이미 참이라고 가정하고 있는 부분, 즉 명제의 대전제는 명제를 부정해도 바뀌지 않습니다. 다음 2 문제는 모두 명제의 부정을 찾는 것입니다. 풀이를 확인하기 전에 명제의 대전제인지, 양화자와 서술어를 찾아보고 명제를 부정할 때 각 부분이 어떻게 바뀔지를 미리 생각해 보면 좋겠습니다.
[문제1]
모든 짝수는 2로 나누어 떨어진다라는 명제의 부정은?
- 어떤 홀수는 2로 나누어 떨어지지 않는다.
- 어떤 짝수는 2로 나누어 떨어지지 않는다.
[풀이]
정답은 2번입니다. [문제1]의 명제와 보기 2번의 명제를 비교하면 ‘모든’이란 영화자가 단어가 ‘어떤’이란 양화자로 바뀌었고, ‘나누어 떨어진다.’라는 서술어는 ‘나누어 떨어지지 않는다’라는 서술어로 바뀌었다는 것을 알 수 있습니다. 왜 ‘짝수’라는 단어는 왜 ‘홀수’라는 단어로 바뀌지 않았을까요? ‘짝수’라는 것이 이 명제의 대전제이기 때문입니다. [문제1]의 명제를 분석해 보면, 짝수라는 수에 ‘모든’ 이라는 양화자와 ‘나누어 떨어진다’ 라는 서술어를 붙여 명제를 만들고 있습니다. 그 수가 양화자나 서술어를 붙이기 전 이미 짝수라는 것을 전제하고 있는 것입니다. 따라서 명제를 부정하더라도 대전제인 ‘짝수’는 바뀌지 않습니다.
[문제2]
\(x\ge0\) 을 만족하는 모든 실수 \(x\)에 대해 \(x+1\ge0\) 이다 를 부정하면?
[풀이]
혹시 이 명제의 부정을 \(x\lt0\)인 어떤 실수 \(x\)에 대해 \(x+1\lt0\) 라고 한다면 명제를 잘못 부정한 것입니다. 명제를 부정할 때 대전제는 바뀌지 않습니다. 이 명제는 ‘모든’이란 양화자와 ‘크거나 같다’라는 서술어를 ‘\(x\ge0\) 인 실수’에 붙여 명제를 만들고 있습니다. 즉, \(x\) 가 만족하는 성질로 미리 전제하고 있는 것은 ‘0보다 같거나 크다이기 때문에 이 명제의 대전제인 \(x\ge0\)은 명제를 부정할 때 바뀌지 않습니다.
따라서 [문제2] 명제의 올바른 부정은
\(x\ge0\) 을 만족하는 어떤 실수 \(x\) 에 대해서 \(x+1<0\) 입니다.
이 글에서는 대전제와 부정의 관계를 살펴보고 명제에서 대전제를 찾고 부정하는 방법에 대해서 살펴보았습니다. 명제를 ‘잘’ 부정하는 기술은 수학 문제를 풀 때 반드시 익혀두어야 할 중요한 기술입니다. 명제를 부정하는 또 다른 기술에 대해서는 다른 글에서 다시 한번 다뤄보겠습니다..
‘비가오면 우산이 잘 팔린다.’의 부정은 ‘비가오면 우산이 잘 팔리지 않는다.’ 인가요??
비가 오고 우산이 잘 팔리지 않는다 입니다. 1. p이면 q이다의 부정은 ~(p 이면 q이다) 입니다.
2. p이면 q이다 라는 명제의 참거짓은 (~p 또는 q) 와 같습니다.
3. 따라서 ~(p이면 q이다)는 ~(~p또는 q)와 같고 드모르간의 법칙을 이용하면 p 이고 ~q 이다라는 식이 됩니다.
이 것에 대해서는 다른 글에서 따로 다루어보겠습니다. 들러주시고 질문해주셔서 감사합니다~ ^^
일반적으로 “p이면 q이다”의 부정은 “p이지만 q가 아닌 것이 적어도 하나 있다.”입니다.
그러므로 “비가 오면 우산이 잘 팔린다”의 부정은 “비가 오지만 우산이 잘 팔리지 않을 수도 있다.”가 맞습니다.
수학적 증명이 필요하시면 다시 질문하시기 바랍니다. 여기는 수식을 쓰는 방법을 몰라서 ……..
좋은 의견 감사합니다. 말씀하신대로, ¬(∀x:(¬p(x)∨q(x)) ≡ ∃x:(p(x)∧¬q(x)) 입니다. 하지만 양화자를 사용하지 않고 p→q 의 부정을 표현하는 것은 잘못된 것이 아닙니다. 아래 2개의 링크는 p→q 와 그 부정을 설명하고 있습니다. 링크를 클릭하시면 됩니다. 링크에서 예를 든 문장을 몇 개 적어두었습니다. 링크1 : mathbootcamps Statement: If I run fast, then I get tired. (p implies q) Negation: I run fast and I do not get tired. (p and not q) 링크2 : math.nlu.edu Statement: if I hit my thumb with a hammer, then my thumb will hurt (p implies q) Negation : I hit my thumb with a hammer and my thumb… Read more »
대전제는 항상 존재해야 하나요? 예를 들어 A와 B의 교집합은 없다.(공집합)를 부정하면 A와 B의 교집합은 있다.가 되는 걸로 알고 있는데, 이 때는 조건 p 자체가 대전제가 되는 건가요?
말씀하신 예에서는 집합 A, B가 만족하고 있는 성질이 대전제가 됩니다. 집합 문제에서는 어떤 전체집합을 미리 정해둔 다음 그 집합의 부분집합으로 문제에서 사용되는 집합을 그 정의합니다. 이 때 미리 정해둔 전체집합이 대전제가 됩니다. 예를 들어 U={1,2,3,…10} 으로 정해두고, U의 두 부분집합 A, B의 교집합은 공집합이다를 부정하면, U={1,2,3…10}의 두 집합 A와 B의 교집합은 공집합이 아니다를 얻을 수 있습니다. 이 때 공집합이다라는 서술부는 부정이 되어 공집합이 아니다로 바뀌지만 대전제에 해당하는 집합 A와 B가 U={1,2,3,…10}의 두 부분집합이라는 사실은 변하지 않습니다. (답장이 늦어 죄송합니다. ㅠ.ㅠ)
대전제만 안바뀌는게 아니고
모든전제는 안바뀌는게 맞지않을까요
p이면q이다의 부정은
p이고~q인게 존재한다니까요
따라서 모든이 어떤으로바뀌는거고
대전제만 안바뀌는건 아닌것같아요