평균값 정리와 그 해석은 관련 문제가 종종 출제될 정도로 아주 중요한 정리입니다. 평균값 정리의 의미를 설명하는 표준적인 방법은 함수의 그래프와 기울기를 사용하는 것입니다. 하지만 평균값 정리를 물체의 운동과 관련 지어 생각하면 그래프를 전혀 사용하지 않고 간단한 논리만으로 평균값 정리의 의미를 직관적으로 이해할 수 있습니다. 이 글에서는 평균값 정리의 물리적인 해석과 그 의미를 설명합니다.
평균값 정리의 정의는 다음과 같습니다.
함수 \(f(x)\)가 닫힌 구간 \([a,b]\)에서 연속이고, 열린 구간 \((a,b)\)에서 미분 가능할 때, $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$ 인 \(c\) 가 열린 구간 \((a,b)\) 에 적어도 하나 존재한다.
평균값 정리의 의미를 설명하는 표준적인 방법 중 하나는 함수의 그래프를 사용하는 것입니다. \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)는 점 \((a,f(a))\) 과 점 \((b,f(b))\) 를 연결한 선분의 평균 변화율(또는 기울기)를 나타내고 \(f'(c)\) 는 \(x=c\) 에서의 순간 변화율(접선의 기울기)을 나타냅니다. 따라서 평균값 정리가 설명하는 것은 열린 구간 \((a,b)\) 에서 나타낼 수 있는 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프의 모든 접선 중에서 최소 한 개 이상의 접선이 두 점 \((a, f(a)\), \((b,f(b)\) 를 연결한 선분과 평행하다는 것입니다.
이러한 기하적인 해석 방법은 관련 문제가 종종 출제될 정도로 매우 중요하며, 잘 익혀두어야 합니다. 하지만 앞서 말했듯이, 평균값 정리의 의미를 설명하기 위해 함수의 그래프가 반드시 필요한 것은 아닙니다. 어떤 함수가 운동하고 있는 물체의 위치를 나타내면 그 함수의 평균 변화율과 순간 변화율은 각각 그 물체의 평균 속도와 순간 속도가 됩니다. 평균값 정리는 평균 변화율과 순간 변화율의 관계를 나타내는 것이므로 평균 속도와 순간 속도를 이용하면 평균값 정리의 의미를 해석할 수 있습니다.
평균값 정리의 물리적인 해석
차량용 네비게이션의 가장 기본적인 기능은 주행중인 차의 현재 위치와 이동 방향, 그리고 자동차의 속력을 표시해 주는 것입니다. 또한 네비게이션에서 제공하는 속력의 종류는 2가지 입니다. 첫 번째 속력은 주행하고 있는 자동차의 속력입니다. 이 속력은 매 순간 마다 자동차의 속력을 측정하여 화면에 나타나기 때문에 순간 속력을 나타냅니다. (자동차의 주행 방향까지 함께 생각하면 순간 속도를 나타냅니다.) 두 번째 속력은 목적지에 도착했을 때 표시되는 자동차의 평균 속력입니다. 네비게이션은 목적지가 설정이 된 순간 부터 도착할 때까지의 주행거리와 주행시간을 측정하고 평균 속력을 계산하여 화면에 표시합니다. 이 속력은 말 그대로 평균 속력을 나타냅니다.
이 두 종류의 속력을 이용하면 평균값 정리를 물리적으로 해석할 수 있습니다. 단, 변화율이 나타내는 것은 속력이 아니라 속도이기 때문에 주행중인 자동차는 직선 위를 양의 방향으로만 움직이고 있다고 가정하고 논의를 진행해 나가겠습니다 (이렇게 하면 자동차는 이동 방향을 바꾸지 않고 양의 방향으로만 이동하기 때문에 이 자동차의 속력과 속도는 동일한 양을 나타내게 됩니다.)
이제 다음과 같은 질문을 생각해 보겠습니다.
[질문1]
조수석에 앉아 네비게이션의 화면에서 한번도 눈을 떼지 않고 자동차의 속도를 관찰하였다. 목적지를 설정하고 도착하는 동안 내내 자동차의 순간 속력이 100km/h 이상으로 높아진 적이 없다면 주행이 끝난 후 네비게이션이 계산한 자동차의 평균 속력은 100km/h 가 될 수 있을까?
[풀이]
그렇지 않습니다. 목적지를 설정한 후 정확히 1시간 뒤에 도착했다고 가정해봅시다. 네비게이션에 표시되는 자동차의 순간 속력을 항상 100km/h 로 유지한다면 1시간 동안의 자동차의 주행 거리는 정확히 100km가 됩니다. 만약 1시간 내내 자동차의 순간 속력이 항상 100km/h 보다 작다면 주행을 마치고 난 자동차의 주행거리는 100km 보다 짧아집니다. 따라서 자동차의 평균 속력 역시 100km/h 보다 작아지게 됩니다.
[질문2]
[질문1]때와 마찬가지로 조수석에 앉아 네비게이션의 화면에서 한번도 눈을 떼지 않고 자동차의 속도를 관찰하였다. 이번에는 네비게이션을 바라 보는 동안 내내 자동차의 순간 속력이 100km/h 보다 빨랐다면 주행이 끝난 후 네비게이션이 계산한 자동차의 평균 속력은 100km/h 가 될 수 있을까?
[풀이]
그렇지 않습니다. 목적지를 설정한 후 정확히 1시간 뒤에 도착했다고 가정해봅시다. 네비게이션에 표시되는 자동차의 순간 속력을 항상 100km/h 로 유지한다면 1시간 동안의 자동차의 주행 거리는 정확히 100km가 됩니다. 만약 1시간 내내 자동차의 순간 속력이 항상 100km/h 보다 빠르다면 주행을 마치고 난 자동차의 주행거리는 100km 보다 길어지게 됩니다. 따라서 자동차의 평균 속력 역시 100km/h 보다 커지게 됩니다.
위 두 질문의 결론을 이용하면 다음과 같은 사실을 추론할 수 있습니다.
만약 목적지에 도착했을 때 네비게이션이 계산한 평균 속도가 100km/h라면, 주행중 자동차의 순간 속력이 100km/h가 된 순간이 적어도 한번 존재한다.
자동차의 순간 속력이 한번도 100km가 된 적이 없다는 것은 자동차가 주행하는 동안 자동차의 순간 속력은 항상 100km/h 보다 작거나 100km/h 보다 크다라는 것을 의미합니다. [질문1]과 [질문2]의 결과에 의하면 순간 속력이 100km/h 보다 항상 크거나 작다면 절대로 자동차의 평균 속력은 100km/h 가 될 수 없습니다. 이 것은 네비게이션이 계산한 평균속도가 100km/h 라는 사실과 모순이 됩니다. 이러한 모순을 없애려면 주행중 적어도 한번은 자동차의 순간 속력이 100km/h가 되어야 합니다.
이러한 사실을 일반화하면, 목적지에 도착했을 때의 평균 속력과 자동차의 순간 속력이 주행중에 최소한 한 번은 존재해야 하는 것을 알 수 있습니다. 즉, 목적지에 도착했을 때 자동차의 평균 속도와 자동차의 순간 속도가 같아지는 순간이 주행 중 적어도 한번은 존재하게 된다는 결론을 얻을 수 있습니다.
만약 이 결론에서 평균 속도와 순간 속도를 각각 평균 변화율과 순간 변화율로 바꾸어 표현하면, 평균 변화율과 순간 변화율이 같아지는 순간이 주행 중 한 번은 존재한다라고 쓸 수 있으며 이 문장은 정확히 평균값 정리의 서술과 일치하게 됩니다.
미적분학과 물체의 운동
이 글에서는 평균값 정리의 의미를 물체의 운동을 통해 분석해보았습니다. 뉴턴은 물체의 운동을 기술하기 위해 미적분학을 사용했습니다. 이 글에서와 같이 미적분학의 여러 이론들을 물체의 운동과 관련지어 해석을 해보면 그 이론들이가지는 의미를 직관적으로 이해할 수 있습니다.
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