반지름이 \(r\)인 구의 부피 \(V\)와 겉넓이 \(S\)는 각각 $$V=\frac{4}{3}\pi r^3, S=4\pi r^2$$입니다. 이 글에서는 구의 부피와 겉넓이의 관계를 살펴보고, 구의 부피를 이용해 구의 겉넓이가 \(4\pi r^2\)임을 유도해 보겠습니다.
위 그림과 같이 반지름의 길이가 \(r\)인 구는 밑면의 넓이가 아주 작은 원뿔을 무수히 많이 모아 놓은 것으로 생각할 수 있습니다. 이 때 원뿔의 꼭짓점은 구의 중심과 같고 높이는 구의 반지름 \(r\)과 같습니다.
원뿔 밑면의 넓이를 \(a\)라 하면, 원뿔의 부피는 $$\dfrac{1}{3}ar$$입니다. 이 때 모든 원뿔의 밑면의 넓이의 합은 구의 겉넓이와 같습니다. 즉, 구의 겉넓이를 \(S\)라 하면, $$S=\Sigma a$$입니다. 또한 모든 원뿔의 부피를 더하면 구의 부피와 같으므로 구의 부피를 \(V\)라 하면 다음과 같은 식이 성립합니다. $$\begin{align}\frac{4}{3}\pi r^3&=\Sigma\frac{1}{3}ar\\&=\frac{1}{3}r\Sigma a\\&=\frac{1}{3}r\cdot S\end{align}$$$$\therefore S=4\pi r^2$$
잘 읽고 갑니다