미적분 문제에서 등식의 양변을 미분하면 새로운 조건을 찾을 수 있을 때가 많습니다. 하지만 등식의 양변을 같이 적분하는 것도 새로운 조건을 찾을 수 있는 방법입니다. 양변을 미분하는 것보다 많이 쓰이지는 않지만 종종 이러한 테크닉을 사용하는 문제들이 있습니다.
f(x)=g(x)⟹∫f(x)dx=∫g(x)dx
이 글에서는 이 테크닉의 원리를 설명하고 이 테크닉을 활용해 exsinx 와 excosx 의 부정적분을 간단히 구하는 법을 설명하겠습니다.
∫exsinxdx=12(exsinx−excosx)+C∫excosxdx=12(exsinx+excosx)+C
테크닉의 원리
이 테크닉의 원리는 직관적으로 쉽게 이해할 수 있을 정도로 단순합니다. f(x), g(x) 의 부정적분을 각각 F(x), G(x) 하면, F′(x)=f(x), G′(x)=g(x) 입니다. f(x)=g(x) 이면 f(x)−g(x)=0 이므로 f(x)−g(x)=F′(x)−G′(x)=(F(x)−G(x))′=0 입니다. 즉 F(x)−G(x)의 도함수는 0이고, 도함수가 0인 함수는 상수 함수이므로 이 상수를 C 라 하면 F(x)−G(x)=C이므로 F(x)=G(x)+C가 되어 ∫f(x)dx=∫g(x)dx 를 얻을 수 있습니다.
테크닉의 활용
이 테크닉의 가장 전형적인 활용 중 하나는 exsinx 와 excosx 의 부정적분을 구하는 것입니다. 보통 이 함수들의 부정적분을 구할 때에는 부분적분법을 사용하지만 이 테크닉을 사용하면 부분적분을 사용하지 않고 부정적분을 빠르게 구할 수 있습니다.
먼저 곱의 미분법을 이용해 두 함수의 도함수를 구해보겠습니다. (exsinx)′=exsinx+excosx(excosx)′=excosx−exsinx
∫exsinxdx
식(1)-식(2)를 계산하면(exsinx)′−(excosx)′=2exsinx를 얻을 수 있습니다. 이제 이 식의 양변을 각각 적분해 보겠습니다. 먼저 좌변을 적분하면 ∫{(exsinx)′−(excosx)′}dx=exsinx−excosx+C1을 얻습니다. 그리고 우변을 적분하면 ∫2exsinxdx=2∫exsinxdx가 됩니다. 식(3)=식(4)이므로exsinx−excosx+C1=2∫exsinxdx입니다. 이제 양변을 2로 나누어주면 ∫exsinxdx=12(exsinx−excosx)+C
∫excosxdx
∫exsinxdx을 계산할 때와 거의 같은 방법을 사용합니다. 먼저 식(1)+식(2)를 계산하면(exsinx)′+(excosx)′=2excosx가 됩니다. 이 식의 양변을 각각 적분하면, 좌변의 적분은 ∫{(exsinx)′+(excosx)′}dx=exsinx+excosx+C2가 됩니다. 그리고 우변을 적분하면 ∫2excosxdx=2∫excosxdx가 됩니다. 식(5)=식(6)이므로exsinx+excosx+C2=2∫excosxdx입니다. 이제 양변을 2로 나누어주면 ∫excosxdx=12(exsinx+excosx)+C
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‘테크닉의 활용’ 문단 두번째문장에 부분적분을 부정적분이라 쓰신 것 같아요…
지적하신 내용이 맞습니다. 수정하였습니다. 알려주셔서 감사합니다 ^^
아름답네요! 너무도 깔끔한 나머지 감탄해버렸습니다.
안녕하세요? 잘 읽어주셔서 감사합니다. 저도 오랜만에 다시 읽어보았는데 고치 쓰면 좋을 것 같은 부분이 보이네요. 종종 들러주시고 의견 남겨주시면 감사하겠습니다!
cos x 의 적분 문단 부분에서 식(5)와 식(6)이 같음을 정리하는 부분의 식의 우변 적분항이
sin x로 잘못 들어가 있는 것 같습니다!!
안녕하세요! 알려주셔서 감사합니다! 말씀하신 부분을 수정하였습니다. 혼자서는 정말 찾기 힘든 부분이었네요!
정적분에서도 적용되는 테크닉 일까요