소소하지만 확실한 테크닉 – 양변적분과 e^(x)sin(x), e^(x)cos(x) 의 부정적분

미적분 문제에서 등식의 양변을 미분하면 새로운 조건을 찾을 수 있을 때가 많습니다. 하지만 등식의 양변을 같이 적분하는 것도 새로운 조건을 찾을 수 있는 방법입니다. 양변을 미분하는 것보다 많이 쓰이지는 않지만 종종 이러한 테크닉을 사용하는 문제들이 있습니다.

f(x)=g(x)f(x)dx=g(x)dx

이 글에서는 이 테크닉의 원리를 설명하고 이 테크닉을 활용해 exsinxexcosx 의 부정적분을 간단히 구하는 법을 설명하겠습니다.
exsinxdx=12(exsinxexcosx)+Cexcosxdx=12(exsinx+excosx)+C

테크닉의 원리

이 테크닉의 원리는 직관적으로 쉽게 이해할 수 있을 정도로 단순합니다. f(x), g(x) 의 부정적분을 각각 F(x), G(x)  하면, F(x)=f(x), G(x)=g(x) 입니다. f(x)=g(x) 이면 f(x)g(x)=0 이므로 f(x)g(x)=F(x)G(x)=(F(x)G(x))=0  입니다. 즉 F(x)G(x)의 도함수는 0이고, 도함수가 0인 함수는 상수 함수이므로 이 상수를 C 라 하면 F(x)G(x)=C이므로 F(x)=G(x)+C가 되어 f(x)dx=g(x)dx 를 얻을 수 있습니다.

테크닉의 활용

이 테크닉의 가장 전형적인 활용 중 하나는 exsinxexcosx 의 부정적분을 구하는 것입니다. 보통 이 함수들의 부정적분을 구할 때에는 부분적분법을 사용하지만 이 테크닉을 사용하면 부분적분을 사용하지 않고 부정적분을 빠르게 구할 수 있습니다.

먼저 곱의 미분법을 이용해 두 함수의 도함수를 구해보겠습니다. (exsinx)=exsinx+excosx(excosx)=excosxexsinx

exsinxdx

식(1)-식(2)를 계산하면(exsinx)(excosx)=2exsinx를 얻을 수 있습니다. 이제 이 식의 양변을 각각 적분해 보겠습니다. 먼저 좌변을 적분하면 {(exsinx)(excosx)}dx=exsinxexcosx+C1을 얻습니다. 그리고 우변을 적분하면 2exsinxdx=2exsinxdx가 됩니다. 식(3)=식(4)이므로exsinxexcosx+C1=2exsinxdx입니다. 이제 양변을 2로 나누어주면 exsinxdx=12(exsinxexcosx)+C

excosxdx

exsinxdx을 계산할 때와 거의 같은 방법을 사용합니다. 먼저 식(1)+식(2)를 계산하면(exsinx)+(excosx)=2excosx가 됩니다. 이 식의 양변을 각각 적분하면, 좌변의 적분은 {(exsinx)+(excosx)}dx=exsinx+excosx+C2가 됩니다. 그리고 우변을 적분하면 2excosxdx=2excosxdx가 됩니다. 식(5)=식(6)이므로exsinx+excosx+C2=2excosxdx입니다. 이제 양변을 2로 나누어주면 excosxdx=12(exsinx+excosx)+C

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ㅇㅇ
5 years ago

‘테크닉의 활용’ 문단 두번째문장에 부분적분을 부정적분이라 쓰신 것 같아요…

Truffle
4 years ago

아름답네요! 너무도 깔끔한 나머지 감탄해버렸습니다.

LLaM
3 years ago

cos x 의 적분 문단 부분에서 식(5)와 식(6)이 같음을 정리하는 부분의 식의 우변 적분항이
sin x로 잘못 들어가 있는 것 같습니다!!

ㅇㅇ
2 years ago

정적분에서도 적용되는 테크닉 일까요