소소하지만 확실한 테크닉 – 양변적분과 e^(x)sin(x), e^(x)cos(x) 의 부정적분

미적분 문제에서 등식의 양변을 미분하면 새로운 조건을 찾을 수 있을 때가 많습니다. 하지만 등식의 양변을 같이 적분하는 것도 새로운 조건을 찾을 수 있는 방법입니다. 양변을 미분하는 것보다 많이 쓰이지는 않지만 종종 이러한 테크닉을 사용하는 문제들이 있습니다.

$$f(x)=g(x)\implies\int f(x)dx=\int g(x)dx$$

이 글에서는 이 테크닉의 원리를 설명하고 이 테크닉을 활용해 $e^x\sin{x}$ 와 $e^x\cos{x}$ 의 부정적분을 간단히 구하는 법을 설명하겠습니다.
$$\begin{align}
\int{e^x\sin{x}}dx&=\frac{1}{2}\left(e^x\sin{x}-e^x\cos{x}\right)+C\\
\int{e^x\cos{x}}dx&=\frac{1}{2}\left(e^x\sin{x}+e^x\cos{x}\right)+C\end{align}$$

테크닉의 원리

이 테크닉의 원리는 직관적으로 쉽게 이해할 수 있을 정도로 단순합니다. $f(x),\ g(x)$ 의 부정적분을 각각 $F(x),\ G(x)$ 하면, $$F'(x)=f(x),\ G'(x)=g(x) $$ 입니다. $f(x)=g(x)$ 이면 $f(x)-g(x)=0$ 이므로 $$\begin{align}
&f(x)-g(x)\\
&=F'(x)-G'(x)\\
&=(F(x)-G(x))’=0 \
\end{align}$$ 입니다. 즉 $F(x)-G(x)$의 도함수는 $0$이고, 도함수가 $0$인 함수는 상수 함수이므로 이 상수를 $C$ 라 하면 $$F(x)-G(x)=C$$이므로 $F(x)=G(x)+C$가 되어 $$\int f(x)dx=\int g(x)dx$$ 를 얻을 수 있습니다.

테크닉의 활용

이 테크닉의 가장 전형적인 활용 중 하나는 $e^x\sin{x}$ 와 $e^x\cos{x}$ 의 부정적분을 구하는 것입니다. 보통 이 함수들의 부정적분을 구할 때에는 부분적분법을 사용하지만 이 테크닉을 사용하면 부분적분을 사용하지 않고 부정적분을 빠르게 구할 수 있습니다.

먼저 곱의 미분법을 이용해 두 함수의 도함수를 구해보겠습니다. $$(e^x\sin{x})’=e^x\sin{x}+e^x\cos{x}\tag{1}$$$$(e^x\cos{x})’=e^x\cos{x}-e^x\sin{x}\tag{2}$$

$\int e^x\sin{x}dx$

식(1)-식(2)를 계산하면$$(e^x\sin{x})’-(e^x\cos{x})’=2e^x\sin{x}$$를 얻을 수 있습니다. 이제 이 식의 양변을 각각 적분해 보겠습니다. 먼저 좌변을 적분하면 $$\begin{align}&\int\{(e^x\sin{x})’-(e^x\cos{x})’\}dx\\&=e^x\sin{x}-e^x\cos{x}+C_1\tag{3}\end{align}$$을 얻습니다. 그리고 우변을 적분하면 $$\int2e^x\sin{x}dx=2\int e^x\sin{x}dx\tag{4}$$가 됩니다. 식(3)=식(4)이므로$$e^x\sin{x}-e^x\cos{x}+C_1=2\int e^x\sin{x}dx$$입니다. 이제 양변을 $2$로 나누어주면 $$\int e^x\sin{x}dx=\frac{1}{2}\left(e^x\sin{x}-e^x\cos{x}\right)+C$$

$\int e^x\cos{x}dx$

$\int e^x\sin{x}dx$을 계산할 때와 거의 같은 방법을 사용합니다. 먼저 식(1)+식(2)를 계산하면$$(e^x\sin{x})’+(e^x\cos{x})’=2e^x\cos{x}$$가 됩니다. 이 식의 양변을 각각 적분하면, 좌변의 적분은 $$\begin{align}&\int\{(e^x\sin{x})’+(e^x\cos{x})’\}dx\\&=e^x\sin{x}+e^x\cos{x}+C_2\tag{5}\end{align}$$가 됩니다. 그리고 우변을 적분하면 $$\int2e^x\cos{x}dx=2\int e^x\cos{x}dx\tag{6}$$가 됩니다. 식(5)=식(6)이므로$$e^x\sin{x}+e^x\cos{x}+C_2=2\int e^x\cos{x}dx$$입니다. 이제 양변을 $2$로 나누어주면 $$\int e^x\cos{x}dx=\frac{1}{2}\left(e^x\sin{x}+e^x\cos{x}\right)+C$$