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수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $0$항 까지의 합을 공합(空合, empty sum)이라고 부릅니다. 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라고 할 때, $$a_n=S_n-S_{n-1}$$ 이 $n=1$부터 성립할 필요충분조건은

$$S_0=0$$

첫째항부터 제 $0$항까지의 합을 어떻게 정의할 수 있을까요? 그리고 그 의미는 무엇일까요? 이 글에서는 조건 $S_0=0$의 필요충분성을 증명하고, 공합 $S_0$의 의미를 알아봅니다.

공합 $S_0$의 의미를 설명하기 전에, 공합을 사용하는 예를 먼저 살펴보고, 그 증명과 의미를 설명하겠습니다.

예

[문제1]

수열 ${a_n}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합 $S_n$이 $$S_n=n^2+5n+c$$ 일때 수열 $\{a_n\}$이 첫째항부터 등차수열이 될 조건을 구하시오.

[문제1]의 풀이

수열 ${a_n}$이 찻째항 부터 등차수열이 될 조건은 공합 $$S_0=0$$ 입니다. 따라서 $$S_0=0^2+5\cdot 0 +c=0$$ 입니다.  즉, 수열 $\{a_n\}$이 첫째항부터 등차수열일 조건은 $c=0$입니다.

조금 더 자세히 알아보면,  $$\begin{align} a_n&=S_n-S_{n-1}\\ &=(n^2+5n+c)-((n-1)^2+5(n-1)+c)\\ &=2n+4\\ &=6+2(n-1) \end{align}$$ 이므로 $a_n$은 등차 수열을 나타냅니다. 이 식이 첫째항부터 등차수열을 나타낼 조건은 공합 $S_0=0$이 되기 위한 조건, $$c=0$$ 입니다. 즉 $S_n$이 $n$에 대한 이차식일때, $S_n$의 상수항이 $0$일 때에만 수열 ${a_n}$이 첫째항부터 등차수열이 됩니다.

[문제2]

수열 ${a_n}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합 $S_n$이 $$S_n=\frac{n}{n+2}$$ 일 때, 수열 ${a_n}$의 일반항을 구하시오.

[문제2]의 풀이

공합 $S_0$이 $$S_0=\frac{0}{0+2}=0$$ 이므로 $$\begin{align} a_n&=S_n-S_{n-1}\\ &=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}\\ &=\frac{2}{(n+2)(n+1)} \end{align}$$ 을 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 사용할 수 있습니다.

따라서 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $$a_n=\frac{2}{(n+2)(n+1)},\ (n=1,2,3\cdots)$$

증명

충분성의 증명

$S_0=0$이면 $a_n=S_n-S_{n-1}$ $(n=1,2,3\cdots)$

이 성립함을 증명합니다. 충분성은 아주 간단히 증명할 수 있습니다. $$\begin{align} a_1&=S_1-S_0\\ &=a_1-0\ (\because S_0=0)\\ &=S_1 \end{align}$$ 입니다. $a_1=S_1$은 참이므로 $S_0=0$이면 $$a_n=S_n-S_{n-1}\ (n=1,2,3\cdots)$$ 입니다. 즉, $a_n=S_n-S_{n-1}$을 통해 얻은 식을 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 만드는데 사용할 수 있습니다. 

필요성의 증명

$a_n=S_n-S_{n-1} (n=1,2,3\cdots)$ 이면 $S_0=0$

이 성립함을 증명합니다. $a_n=S_n-S_{n-1}$이 $n=1$일 때도 성립하므로 $n=1$을 대입하면, $$\begin{align} a_1&=S_1-S_0\\ &=a_1-S_0\ (\because S_1=a_1)\\ \end{align}$$ $$\therefore S_0=0$$

공합 $S_0$의 의미

$S_0$은 공합(空合, empty sum)이라는 이름을 갖고 있습니다. 말 그대로 비어 있는 합이 되는 것이죠. 어떻게 첫째항부터 $0$항까지의 합을 표현하는 것이 가능할 까하고 생각하실지도 모르겠습니다. 하지만 이 개념은 우리에게 이미 익숙한 개념중 하나입니다.

예를 들어 보겠습니다. 수열 ${a_n}$의 제 $3$항부터 제$10$항까지의 합은 모두 몇개의 항을 더한 것일까요? $$a_3+a_4+a_5+\cdots+a_{10}$$ 네 맞습니다. 모두 $8$개의 항을 더한 것입니다. 그런데 혹시 항의 개수는 어떻게 셀 수 있을까요? 직접 세어도 되지만, $$10-3+\color{red}{1}=8$$ 로 계산할 수 있습니다. 마찬가지로 수열 ${a_n}$의 제 $5$항부터 제 $15$항까지의 합 $$a_5+a_6+a_7+\cdots+a_{15}$$ 은 $$15-5+\color{red}{1}=11$$ 이므로 모두 $11$개의 항을 더한 것이라고 생각할 수 있습니다. 이것을 일반화 하면 수열 ${a_n}$의 제 $k$항부터 제 $n$항까지의 합 $$a_k+a_{k+1}+a_{k+2}…+a_{n}$$ 은 모두 $$n-k+\color{red}{1}$$ 개의 항을 더한 것이 됩니다. 

자, 이제 수열 ${a_n}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합 $S_n$을 생각해보겠습니다. 제 $1$항부터 제 $n$항까지의 합이므로 모두 $$n-1+\color{red}{1}=n$$ 개의 항을 더한 것이 됩니다. 즉 $S_0$는 $0$개의 항을 더한 것 입니다. (제 $1$항부터 제 $0$항까지의 합은 $0-1+\color{red}{1}=0$개의 항을 더한 것으로 생각할 수도 있습니다. 마찬가지로 $S_1$은 제 $1$항부터 제 $1$항 까지의 합이므로 $1-1+\color{red}{1}=1$개의 항을 더한 것이 됩니다.)

이렇듯 수열에서 $0$개의 항을 더한 것을 공합 (비어있는 합)이라고 부릅니다. 수학에서 공합의 값은 $0$으로 간주합니다.

이는 컴퓨터 공학에서도 마찬가지 입니다. 배열$[i:j]$에는 모두 $j-i+1$개의 수가 저장되어 있기 때문에 배열$[1:2]$에는 모두 $2-1+1=2$개의 수가 저장되어 있습니다. 같은 이유로, 배열$[1:0]$에는 모두 $0-1+1=0$개의 수가 저장되어 있습니다. 이러한 배열을 공배열(empty array)라고 부릅니다.

더 생각해 볼 것들

• 그렇다면 $S_{-1}$은 정의가 가능할까요? 불가능하다면 그 이유는 무엇일까요?
• 그렇다면 수학에서 비어있는 곱(공적-空積, empty product)의 값은 무엇으로 정하는 것이 좋을까요? 팩토리얼 $n!$의 정의는 어떤 것인지  $0!$의 값은 어떻게 정해진 것인지 생각해 보시면 좋겠습니다.