2019학년도 6월 모의고사 29번은 역함수의 함정 Ⅱ, 함수와 역함수의 교점에서 언급한 성질을 아주 잘 보여주는 문제입니다. 이 글에서는 문제를 풀어보면서 함수와 역함수의 교점에 대한 성질을 어떻게 이용하는지 살펴보고 더 나아가 함수의 순환에 대해서도 간단히 언급해 보겠습니다.
①. 함수 \(f(x)\)가 증가함수이면, 함수 \(f(x)\)와 역함수 \(f^{-1}(x)\)의 모든 교점은 직선 \(y=x\)위에 존재한다.
②. 함수와 역함수의 교점이 \((a,b)\)이면, \((b,a)\)도 두 함수의 교점이다.
2019학년도 6월 모의고사 나형 29번
함수 $$f(x)=\begin{cases}
ax+b, & \text{$x\lt 1$}\\[2ex]
cx^2+\frac{5}{2}x, & \text{$x\geq 1$}
\end{cases}$$
이 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 갖는다. 함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 역함수 \(y=f^{-1}(x)\)의 그래프의 교점의 개수가 3이고, 그 교점의 \(x\)좌표가 각각 \(-1\), \(1\), \(2\)일 때, \(2a+4b-10c\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\), \(c\)는 상수이다.)